初中数学三角形试题

在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，连接对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$，点 $P$是正方形边上或对角线上的一点，若 $\mathit{PB}=3\mathit{PC}$，则 $\mathit{PC}=$　　．

在等腰 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{AE}=\mathit{DE}$， $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形， $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{AED}$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图①所示，求证： $\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{CD}$；

（2）当 $\angle \mathit{EAD}=45°$，把 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$逆时针旋转，顶点 $B$落在边 $\mathit{AD}$上时，如图②所示，当 $\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $B$在边 $\mathit{AE}$上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段 $\mathit{EF}$和 $\mathit{CD}$又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 的延长线上，连接 $\mathit{DE}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{DE}$ 的中点，连接 $\mathit{OF}$ 交 $\mathit{CD}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{CF}$ ，若 $\mathit{CE}=4$ ， $\mathit{OF}=6$ ．则下列结论：① $\mathit{GF}=2$ ；② $\mathit{OD}=\sqrt{2}\mathit{OG}$ ；③ $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{1}{2}$ ；④ $\angle \mathit{ODF}=\angle \mathit{OCF}=90°$ ；⑤点 $D$ 到 $\mathit{CF}$ 的距离为 $\frac{8\sqrt{5}}{5}$ ．其中正确的结论是 $($ 　　 $)$

A．

①②③④

B．

①③④⑤

C．

①②③⑤

D．

①②④⑤

如图，平行四边形 $\mathit{ABFC}$ 的对角线 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ，点 $O$ 为 $\mathit{AC}$ 的中点，连接 $\mathit{BO}$ 并延长，交 $\mathit{FC}$ 的延长线于点 $D$ ，交 $\mathit{AF}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{OE}$ ，若平行四边形 $\mathit{ABFC}$ 的面积为48，则 $S_{\mathit{\Delta AOG}}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

5.5

B．

5

C．

4

D．

3

已知，如图①，若 $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的内角平分线，通过证明可得 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{\mathit{BD}}{\mathit{CD}}$，同理，若 $\mathit{AE}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：

如图②，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{BD}=2$， $\mathit{CD}=3$， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内角平分线，则 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上的中线长 $l$的取值范围是 　　．

如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是边 $\mathit{BC}$上一点，且点 $E$不与点 $B$、 $C$重合，点 $F$是 $\mathit{BA}$的延长线上一点，且 $\mathit{AF}=\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCE}\cong \mathit{\Delta DAF}$；

（2）如图2，连接 $\mathit{EF}$，交 $\mathit{AD}$于点 $K$，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{EF}$，垂足为 $H$，延长 $\mathit{DH}$交 $\mathit{BF}$于点 $G$，连接 $\mathit{HB}$， $\mathit{HC}$．

①求证： $\mathit{HD}=\mathit{HB}$；

②若 $\mathit{DK}\cdot \mathit{HC}=\sqrt{2}$，求 $\mathit{HE}$的长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，将此矩形折叠，使点 $C$与点 $A$重合，点 $D$落在点 $D\text{'}$处，折痕为 $\mathit{EF}$，则 $\mathit{AD}\text{'}$的长为 　　， $\mathit{DD}\text{'}$的长为 　　．

如图， $E$ 、 $F$ 分别是正方形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上的动点，满足 $\mathit{AE}=\mathit{BF}$ ，连接 $\mathit{CE}$ 、 $\mathit{DF}$ ，相交于点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ，若正方形的边长为2．则线段 $\mathit{AG}$ 的最小值为 　　．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAD}$．

【探究发现】

（1）如图①，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$．求证： $\mathit{AD}+\mathit{AB}=\mathit{AC}$；

【拓展迁移】

（2）如图②，若 $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\angle \mathit{ABC}+\angle \mathit{ADC}=180°$．

①猜想 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$三条线段的数量关系，并说明理由；

②若 $\mathit{AC}=10$，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积．

在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 　　．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$，已知 $\mathit{OA}=\mathit{OC}$， $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，过点 $O$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BD}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{DEBF}$是菱形：

（2）设 $\mathit{AD}//\mathit{EF}$， $\mathit{AD}+\mathit{AB}=12$， $\mathit{BD}=4\sqrt{3}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在正六边形 $\mathit{ABCDEF}$中，连接对角线 $\mathit{AD}$， $\mathit{AE}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DB}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $M$， $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$交于点为 $N$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{AD}$交于点 $O$，分别延长 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$于点 $G$，设 $\mathit{AB}=3$．有以下结论：

① $\mathit{MN}\perp \mathit{AD}$

② $\mathit{MN}=2\sqrt{3}$

③ $\mathit{\Delta DAG}$的重心、内心及外心均是点 $M$

④四边形 $\mathit{FACD}$绕点 $O$逆时针旋转 $30°$与四边形 $\mathit{ABDE}$重合

则所有正确结论的序号是 　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BC}=12$ ， $D$ 为 $\mathit{AC}$ 边上的一个动点，连接 $\mathit{BD}$ ， $E$ 为 $\mathit{BD}$ 上的一个动点，连接 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{CE}$ ，当 $\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{BCE}$ 时，线段 $\mathit{AE}$ 的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ ， $F$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 上的两点，且 $\mathit{EF}=2\mathit{AE}=2\mathit{CF}$ ，连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ，连接 $\mathit{DF}$ 并延长交 $\mathit{BC}$ 于点 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ ，则 $\frac{S_{\mathit{\Delta AMD}}}{S_{\mathit{\Delta MBN}}}=($ 　　 $)$

A．

$\frac{3}{4}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

1

D．

$\frac{1}{2}$

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$．点 $D$为平面上一个动点， $\angle \mathit{ADB}=45°$，则线段 $\mathit{CD}$长度的最小值为 　　．