如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线

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更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图所示， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上不同的两点，直线 $BD$ 交线段 $OC$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $CF$ 于点 $F$ ，若 $OC = 3 CE$ ，且 $9 (E F^{2} - C F^{2}) = O C^{2}$ ．

（1）求证：直线 $CF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $OD$ 、 $AD$ 、 $AC$ 、 $DC$ ，若 $∠ COD = 2 ∠ BOC$ ．

①求证： $ΔACD ∽ ΔOBE$ ；

②过点 $E$ 作 $EG / / AB$ ，交线段 $AC$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $AC$ 的中点，若 $AD = 4$ ，求线段 $MG$ 的长度．

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阅读下面材料：

如图1，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连结AD．
（1）当点D是BC边上的中点时，S_△_ABD：S_△_ABC= ；
（2）如图2，在△ABC中，点O是线段AD上一点（不与点A、D重合），且AD=nOD，连结BO、CO，求S_△_BOC：S_△_ABC的值（用含n的代数式表示）；
（3）如图3，O是线段AD上一点（不与点A、D重合），连结BO并延长交AC于点F，连结CO并延长交AB于点E，补全图形并直接写出的值．