如图，在RtΔABC中，∠ACB90°，∠A60°，点D为A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $D$ 为 $AB$ 的中点，连接 $CD$ ，将线段 $CD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α (60 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $ED$ ，且 $ED$ 交线段 $BC$ 于点 $G$ ， $∠ CDE$ 的平分线 $DM$ 交 $BC$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $α = 90 °$ ，则线段 $ED$ 与 $BD$ 的数量关系是　　， $\frac{GD}{CD} =$ 　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $CF / / DE$ 交 $DM$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ， $BE$ ．

①试判断四边形 $CDEF$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{BE}{FH} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $AC = 2$ ， $\tan (α - 60 °) = m$ ，过点 $C$ 作 $CF / / DE$ 交 $DM$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ， $BE$ ，请直接写出 $\frac{BE}{FH}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

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②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”？请直接写出tanβ的取值范围。
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依据（3）中的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是“好玩三角形”的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）。