初中数学三角形解答题

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．已知直线 $y=\mathit{kx}+n$ 过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）求抛物线和直线 $\mathit{BC}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

①如图1，若点 $P$ 在第一象限内，连接 $\mathit{PA}$ ，交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ．设 $\mathit{\Delta PDC}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ADC}$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值；

②如图2，抛物线的对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $F$ ．点 $Q$ 是对称轴 $l$ 上的一个动点，是否存在以点 $E$ ， $F$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 $P$ ， $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

已知 $D$ 是 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 斜边 $\mathit{AB}$ 的中点， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle \mathit{ABC}=30°$ ，过点 $D$ 作 $\text{Rt}\Delta \text{DEF}$ 使 $\angle \mathit{DEF}=90°$ ， $\angle \mathit{DFE}=30°$ ，连接 $\mathit{CE}$ 并延长 $\mathit{CE}$ 到 $P$ ，使 $\mathit{EP}=\mathit{CE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{FP}$ ， $\mathit{BP}$ ，设 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{DE}$ 交于 $M$ ， $\mathit{PB}$ 与 $\mathit{EF}$ 交于 $N$ ．

（1）如图1，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 共线时，求证：

① $\mathit{EB}=\mathit{EP}$ ；

② $\angle \mathit{EFP}=30°$ ；

（2）如图2，当 $D$ ， $B$ ， $F$ 不共线时，连接 $\mathit{BF}$ ，求证： $\angle \mathit{BFD}+\angle \mathit{EFP}=30°$ ．

将抛物线 $C:y={(x-2)}^2$ 向下平移6个单位长度得到抛物线 $C_1$ ，再将抛物线 $C_1$ 向左平移2个单位长度得到抛物线 $C_2$ ．

（1）直接写出抛物线 $C_1$ ， $C_2$ 的解析式；

（2）如图（1），点 $A$ 在抛物线 $C_1$ （对称轴 $l$ 右侧）上，点 $B$ 在对称轴 $l$ 上， $\mathit{\Delta OAB}$ 是以 $\mathit{OB}$ 为斜边的等腰直角三角形，求点 $A$ 的坐标；

（3）如图（2），直线 $y=\mathit{kx}(k\ne 0$ ， $k$ 为常数）与抛物线 $C_2$ 交于 $E$ ， $F$ 两点， $M$ 为线段 $\mathit{EF}$ 的中点；直线 $y=-\frac{4}{k}x$ 与抛物线 $C_2$ 交于 $G$ ， $H$ 两点， $N$ 为线段 $\mathit{GH}$ 的中点．求证：直线 $\mathit{MN}$ 经过一个定点．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$ 的对称轴为直线 $x=\frac{3}{2}$ ，其图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ $(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）直接写出抛物线的解析式和 $\angle \mathit{CAO}$ 的度数；

（2）动点 $M$ ， $N$ 同时从 $A$ 点出发，点 $M$ 以每秒3个单位的速度在线段 $\mathit{AB}$ 上运动，点 $N$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在线段 $\mathit{AC}$ 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 $t(t>0)$ 秒，连接 $\mathit{MN}$ ，再将线段 $\mathit{MN}$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $90°$ ，设点 $N$ 落在点 $D$ 的位置，若点 $D$ 恰好落在抛物线上，求 $t$ 的值及此时点 $D$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，设 $P$ 为抛物线上一动点， $Q$ 为 $y$ 轴上一动点，当以点 $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta MDB}$ 相似时，请直接写出点 $P$ 及其对应的点 $Q$ 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $C(6,0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x=2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $\mathit{MP}$ ，以点 $M$ 为中心，将 $\mathit{\Delta MPC}$ 逆时针旋转 $90°$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $\mathit{EF}$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $\mathit{\Delta MPC}$ 在（2）的旋转变换下，若 $\mathit{PC}=\sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $\mathit{EA}=\mathit{ED}$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $\mathit{CM}$ 的长．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $C(0,3)$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ，点 $M$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MP}//y$ 轴，交抛物线于点 $P$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\mathit{\Delta QCO}$ 是等边三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以 $M$ 为圆心， $\mathit{MP}$ 为半径作 $\odot M$ ，当 $\odot M$ 与坐标轴相切时，求出 $\odot M$ 的半径．

已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在轴上找一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标．

（3）点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点、坐标；若不存在，请说明理由．

如图，四边形是正方形，点为对角线的中点．

（1）问题解决：如图①，连接，分别取，的中点，，连接，则与的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△是将图①中的绕点按顺时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．判断的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．

（1）线段　　；

（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在轴上，在轴上．为坐标原点，，线段，的长分别是方程的两个根，．

（1）求点，的坐标；

（2）为上一点，为上一点，，将翻折，使点落在上的点处，双曲线的一个分支过点．求的值；

（3）在（2）的条件下，为坐标轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．

（1）当时，请直接写出点的坐标；

（2）关于的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；

（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线过点，交轴于点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，连接．

（1）直接写出的值，点的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点是抛物线对称轴上的点，当是等腰三角形时，求点的坐标；

（3）点是抛物线上的动点，连接，，将沿所在的直线对折，点落在坐标平面内的点处．求当点恰好落在直线上时点的横坐标．

如图所示，拋物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，点的坐标为，对称轴为直线．点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接，，设点是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点．设线段的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的面积为，

①求点的坐标；

②设为直线上一动点，连接，直线交直线于点，则点在运动过程中，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及其对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线经过点和，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上点不与，重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．