已知抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$的左边），与$y$轴交于点$C(0,-3)$，顶点$D$的坐标为$(1,-4)$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在$y$轴上找一点$E$，使得$\mathit{\Delta EAC}$为等腰三角形，请直接写出点$E$的坐标．

（3）点$P$是$x$轴上的动点，点$Q$是抛物线上的动点，是否存在点$P$、$Q$，使得以点$P$、$Q$、$B$、$D$为顶点，$\mathit{BD}$为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点$P$、$Q$坐标；若不存在，请说明理由．