初中数学三角形解答题

在平面直角坐标系中，点，点．已知抛物线是常数），顶点为．

（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；

（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求抛物线的解析式．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．

已知的直径，弦与弦交于点．且，垂足为点．

（1）如图1，如果，求弦的长；

（2）如图2，如果为弦的中点，求的余切值；

（3）联结、、，如果是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，求的面积．

如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点，联结、．

（1）求证：；

（2）当是直角三角形时，求、两点的距离；

（3）记、、 的面积分别为、、，如果是和的比例中项，求的长．

问题提出

（1）如图①，在中，，，则的外接圆半径的值为　　．

问题探究

（2）如图②，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值．

问题解决

（3）如图③所示，、、是某新区的三条规划路，其中，，，所对的圆心角为，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点、，也就是，分别在、线段和上选取点、、．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路、和．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段、、之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

问题提出

（1）如图①，在中，，，点关于所在直线的对称点为，则的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆的直径，是的中点，点在上，且，是上的动点，试求的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛的半径为，．根据工程需要．现想在上选点，在边上选点，在边上选点，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形．试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计）

问题提出

（1）如图①，是等边三角形，，若点是的内心，则的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形中，，，如果点是边上一点，且，那么边上是否存在一点，使得线段将矩形的面积平分？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于（即每次喷灌时喷灌龙头由转到，然后再转回，这样往复喷灌．同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出，，的面积为；过弦的中点作交于点，又测得．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

（1）如图①，点是外一点，点是上一动点．若的半径为3，且，则点到点的最短距离为　 ；

（2）如图②，已知正方形的边长为4，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，则点到点的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边中，，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，求面积的最大值，并说明理由．

问题提出

（1）如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，请画出 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AF}=2$ ，是否在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $\mathit{EFGH}$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=3$ 米， $\mathit{AD}=6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件，使 $\angle \mathit{EFG}=90°$ ， $\mathit{EF}=\mathit{FG}=\sqrt{5}$ 米， $\angle \mathit{EHG}=45°$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AF}<\mathit{BF}$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $\mathit{ABCD}$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}=6$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最大值是 　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为12，求矩形 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $\mathit{\Delta ABC}$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $\mathit{AB}=30$ 米， $\mathit{BC}=40$ 米， $\mathit{AC}=50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $\mathit{ABCD}$ ，且满足 $\angle \mathit{ADC}=60°$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称△是的“旋补三角形”，△ 边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△是的“旋补三角形”， 是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为　　；

②如图3，当，时，则长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形，，，，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．直线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点的直线交直线于点．

①当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作直线的平行线交直线于点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标；

②连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标．

如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点的坐标为，对称轴交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交抛物线的对称轴于点．

（1）求出，，的值．

（2）点为抛物线对称轴上一个动点，若是以为腰的等腰三角形时，请求出点的坐标．

（3）点为抛物线上一个动点，当点关于直线的对称点恰好落在轴上时，请直接写出此时点的坐标．

如图1，直线 $y=-\frac{4}{3}x+n$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C(0,4)$ ，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B(0,-2)$ ．点 $P$ 为抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $\mathit{PD}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{PD}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PB}$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形时，求线段 $\mathit{PD}$ 的长；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta BDP}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得到△ $\mathit{BD}\text{'}P\text{'}$ ，且旋转角 $\angle \mathit{PBP}\text{'}=\angle \mathit{OAC}$ ，当点 $P$ 的对应点 $P\text{'}$ 落在坐标轴上时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点为，直线与轴相交于点．

（1）当时，抛物线顶点的坐标为　　，　　；

（2）的长是否与值有关，说明你的理由；

（3）设，，求的取值范围；

（4）以为斜边，在直线的左下方作等腰直角三角形．设，直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．