初中数学三角形解答题

已知， $\mathit{\Delta ABC}$为直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $P$是射线 $\mathit{CB}$上一点（点 $P$不与点 $B$、 $C$重合），线段 $\mathit{AP}$绕点 $A$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{AQ}$，连接 $\mathit{QB}$交射线 $\mathit{AC}$于点 $M$．

（1）如图①，当 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$上时，线段 $\mathit{PB}$、 $\mathit{CM}$的数量关系是　　；

（2）如图②，当 $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）如图③，若 $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=\frac{5}{2}$，点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上， $\mathit{CM}=2$， $\mathit{AP}=13$，求 $\mathit{\Delta ABP}$的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{BC}$延长线上一点， $\mathit{ED}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $\mathit{ED}$交线段 $\mathit{AC}$于点 $F$，点 $O$在线段 $\mathit{EF}$上， $\odot O$经过 $C$、 $E$两点，交 $\mathit{ED}$于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle E=30°$， $\mathit{AD}=1$， $\mathit{BD}=5$，求 $\odot O$的半径．

如图， $▱\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{EF}$过点 $O$且与 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$分别相交于点 $E$、 $F$，连接 $\mathit{EC}$．

（1）求证： $\mathit{OE}=\mathit{OF}$；

（2）若 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{\Delta BEC}$的周长是10，求 $▱\mathit{ABCD}$的周长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $F$从点 $B$向点 $C$运动，点 $E$从点 $A$沿射线 $\mathit{CA}$方向运动，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $D$．

（1）如图1，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$时，求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}+\mathit{BF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=\frac{2}{3}\mathit{BC}$时，① $\mathit{AD}=6$， $\mathit{BF}=\frac{15}{2}$，则 $\mathit{AB}=$　　；

②过点 $F$作 $\mathit{FP}\perp \mathit{AB}$于点 $P$，探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{FP}$之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}$为钝角， $\angle B=45°$，点 $P$是边 $\mathit{BC}$延长线上一点，以点 $C$为顶点， $\mathit{CP}$为边，在射线 $\mathit{BP}$下方作 $\angle \mathit{PCF}=\angle B$．

（1）在射线 $\mathit{CF}$上取点 $E$，连接 $\mathit{AE}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $D$．

①如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$，请直接写出线段 $A$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系；

②如图2，若 $\mathit{AD}=\sqrt{2}\mathit{DE}$，判断线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{CE}$的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）如图3，反向延长射线 $\mathit{CF}$，交射线 $\mathit{BA}$于点 $C\text{'}$，将 $\angle \mathit{PCF}$沿 $\mathit{CC}\text{'}$方向平移，使顶点 $C$落在点 $C\text{'}$处，记平移后的 $\angle \mathit{PCF}$为 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$，将 $\angle P\text{'}C\text{'}F\text{'}$绕点 $C\text{'}$顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <45°)$， $C\text{'}F\text{'}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $M$， $C\text{'}P\text{'}$交射线 $\mathit{BP}$于点 $N$，请直接写出线段 $\mathit{BM}$， $\mathit{MN}$与 $\mathit{CN}$之间的数量关系．

四边形 $\mathit{ABCD}$是边长为4的正方形，点 $E$在边 $\mathit{AD}$所在直线上，连接 $\mathit{CE}$，以 $\mathit{CE}$为边，作正方形 $\mathit{CEFG}$（点 $D$，点 $F$在直线 $\mathit{CE}$的同侧），连接 $\mathit{BF}$．

（1）如图1，当点 $E$与点 $A$重合时，请直接写出 $\mathit{BF}$的长；

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AD}$上时， $\mathit{AE}=1$；

①求点 $F$到 $\mathit{AD}$的距离；

②求 $\mathit{BF}$的长；

（3）若 $\mathit{BF}=3\sqrt{10}$，请直接写出此时 $\mathit{AE}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．

求证：（1） $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CDF}$；

（2） $\angle \mathit{BEF}=\angle \mathit{BFE}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$，点 $O$为 $\mathit{AB}$中点，点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上的动点（不与点 $B$、点 $C$重合），连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{OP}$，将线段 $\mathit{OP}$绕点 $P$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{BQ}$．

（1）如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出线段 $\mathit{BQ}$与 $\mathit{CP}$的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$在 $\mathit{CB}$延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上时，若 $\angle \mathit{BPO}=15°$， $\mathit{BP}=4$，请求出 $\mathit{BQ}$的长

如图，在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$相交于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{CB}$延长线于点 $E$，垂足为点 $F$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径 $R=5$， $\tan C=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{EF}$的长．

如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DC}=\mathit{EC}$，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$，点 $M$、 $N$、 $P$分别是 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{PM}$、 $\mathit{PN}$、 $\mathit{MN}$．

（1） $\mathit{BE}$与 $\mathit{MN}$的数量关系是　　；

（2）将 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

（3）若 $\mathit{CB}=6$， $\mathit{CE}=2$，在将图1中的 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$逆时针旋转一周的过程中，当 $B$、 $E$、 $D$三点在一条直线上时， $\mathit{MN}$的长度为　　．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$、 $F$是 $\odot O$上两点，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CF}$、 $\mathit{DF}$，满足 $\mathit{EA}=\mathit{CA}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的半径为3， $\tan \angle \mathit{CFD}=\frac{4}{3}$，求 $\mathit{AD}$的长．

阅读理解：

我们把满足某种条件的所有点所组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．

例如：角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹．

问题：如图1，已知 $\mathit{EF}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中位线， $M$是边 $\mathit{BC}$上一动点，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{EF}$于点 $P$，那么动点 $P$为线段 $\mathit{AM}$中点．

理由： $\because$线段 $\mathit{EF}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中位线， $\therefore \mathit{EF}//\mathit{BC}$，

由平行线分线段成比例得：动点 $P$为线段 $\mathit{AM}$中点．

由此你得到动点 $P$的运动轨迹是：　          　．

知识应用：

如图2，已知 $\mathit{EF}$为等边 $\mathit{\Delta ABC}$边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上的动点，连接 $\mathit{EF}$；若 $\mathit{AF}=\mathit{BE}$，且等边 $\mathit{\Delta ABC}$的边长为8，求线段 $\mathit{EF}$中点 $Q$的运动轨迹的长．

拓展提高：

如图3， $P$为线段 $\mathit{AB}$上一动点（点 $P$不与点 $A$、 $B$重合），在线段 $\mathit{AB}$的同侧分别作等边 $\mathit{\Delta APC}$和等边 $\mathit{\Delta PBD}$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$，交点为 $Q$．

（1）求 $\angle \mathit{AQB}$的度数；

（2）若 $\mathit{AB}=6$，求动点 $Q$运动轨迹的长．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$，点 $F$， $G$， $H$分别为 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{CD}$中点．

（1）当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$旋转时，如图1，则 $\mathit{\Delta FGH}$的形状为　　，说明理由；

（2）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，当 $B$， $D$， $E$三点共线时，如图2，若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=2$，求线段 $\mathit{FH}$的长；

（3）在 $\mathit{\Delta ADE}$旋转的过程中，若 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{AD}=b(a>b>0)$，则 $\mathit{\Delta FGH}$的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．

如图， $\angle \mathit{MAN}=60°$， $\mathit{AP}$平分 $\angle \mathit{MAN}$，点 $B$是射线 $\mathit{AP}$上一定点，点 $C$在直线 $\mathit{AN}$上运动，连接 $\mathit{BC}$，将 $\angle \mathit{ABC}(0°<\angle \mathit{ABC}<120°)$的两边射线 $\mathit{BC}$和 $\mathit{BA}$分别绕点 $B$顺时针旋转 $120°$，旋转后角的两边分别与射线 $\mathit{AM}$交于点 $D$和点 $E$．

（1）如图1，当点 $C$在射线 $\mathit{AN}$上时，

①请判断线段 $\mathit{BC}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，直接写出结论；

②请探究线段 $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BE}$之间的数量关系，写出结论并证明；

（2）如图2，当点 $C$在射线 $\mathit{AN}$的反向延长线上时， $\mathit{BC}$交射线 $\mathit{AM}$于点 $F$，若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AC}=\sqrt{3}$，请直接写出线段 $\mathit{AD}$和 $\mathit{DF}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AC}$是直径， $\mathit{BC}=\mathit{BA}$，在 $\angle \mathit{ACB}$的内部作 $\angle \mathit{ACF}=30°$，且 $\mathit{CF}=\mathit{CA}$，过点 $F$作 $\mathit{FH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$，连接 $\mathit{BF}$．

（1）若 $\mathit{CF}$交 $\odot O$于点 $G$， $\odot O$的半径是4，求 $\stackrel{̂}{\mathit{AG}}$的长；

（2）请判断直线 $\mathit{BF}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由．