初中数学三角形解答题

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{MN}$折叠，顶点 $B$恰好与 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$重合（点 $P$不与点 $C$， $D$重合），折痕为 $\mathit{MN}$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{MB}$， $\mathit{MP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{MN}$相交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BFN}\backsim \mathit{\Delta BCP}$；

（2）①在图2中，作出经过 $M$， $D$， $P$三点的 $\odot O$（要求保留作图痕迹，不写做法）；

②设 $\mathit{AB}=4$，随着点 $P$在 $\mathit{CD}$上的运动，若①中的 $\odot O$恰好与 $\mathit{BM}$， $\mathit{BC}$同时相切，求此时 $\mathit{DP}$的长．

如图，在直角坐标系中， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=1$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$的图象经过 $\mathit{BC}$边的中点 $D(3,1)$．

（1）求这个反比例函数的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta EFG}$成中心对称，且 $\mathit{\Delta EFG}$的边 $\mathit{FG}$在 $y$轴的正半轴上，点 $E$在这个函数的图象上．

①求 $\mathit{OF}$的长；

②连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$，证明四边形 $\mathit{ABEF}$是正方形．

已知：如图， $E$， $F$为 $▱\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{AC}$上的两点，且 $\mathit{AE}=\mathit{CF}$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{DF}$．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$， $P$为射线 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{BP}$为边作正方形 $\mathit{BPEF}$，使点 $F$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{EC}$．

（1）如图1，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，求证： $\mathit{EA}=\mathit{EC}$；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{AC}$，判断 $\mathit{\Delta ACE}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{AC}$，当 $\mathit{EP}$平分 $\angle \mathit{AEC}$时，设 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{BP}=b$，求 $a:b$及 $\angle \mathit{AEC}$的度数．

【操作发现】

（1）如图1， $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形，先将三角板中的 $60°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $30°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板斜边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=30°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．

①求 $\angle \mathit{EAF}$的度数；

② $\mathit{DE}$与 $\mathit{EF}$相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$为等腰直角三角形， $\angle \mathit{ACB}=90°$，先将三角板的 $90°$角与 $\angle \mathit{ACB}$重合，再将三角板绕点 $C$按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0°$且小于 $45°)$，旋转后三角板的一直角边与 $\mathit{AB}$交于点 $D$，在三角板另一直角边上取一点 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{CD}$，线段 $\mathit{AB}$上取点 $E$，使 $\angle \mathit{DCE}=45°$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{EF}$．请直接写出探究结果：

① $\angle \mathit{EAF}$的度数；

②线段 $\mathit{AE}$， $\mathit{ED}$， $\mathit{DB}$之间的数量关系．

已知： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=2$，弦 $\mathit{DE}=1$，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $C$，弦 $\mathit{DE}$在 $\odot O$上运动且保持长度不变， $\odot O$的切线 $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求证： $\mathit{CF}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当点 $E$运动至与点 $B$重合时，试判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{BF}$是否相等，并说明理由．

如图，已知 $\mathit{BA}=\mathit{AE}=\mathit{DC}$， $\mathit{AD}=\mathit{EC}$， $\mathit{CE}\perp \mathit{AE}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DCA}\cong \mathit{\Delta EAC}$；

（2）只需添加一个条件，即　　，可使四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形．请加以证明．

数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

探究一：求不等式 $|x-1|<2$的解集

（1）探究 $|x-1|$的几何意义

如图①，在以 $O$为原点的数轴上，设点 $A\text{'}$对应的数是 $x-1$，由绝对值的定义可知，点 $A\text{'}$与点 $O$的距离为 $|x-1|$，可记为 $A\text{'}O=|x-1|$．将线段 $A\text{'}O$向右平移1个单位得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$对应的数是 $x$，点 $B$对应的数是1．因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=|x-1|$．因此， $|x-1|$的几何意义可以理解为数轴上 $x$所对应的点 $A$与1所对应的点 $B$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（2）求方程 $|x-1|=2$的解

因为数轴上3和 $-1$所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3， $-1$．

（3）求不等式 $|x-1|<2$的解集

因为 $|x-1|$表示数轴上 $x$所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数 $x$的范围．

请在图②的数轴上表示 $|x-1|<2$的解集，并写出这个解集．

探究二：探究 $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义

（1）探究 $\sqrt{x^2+y^2}$的几何意义

如图③，在直角坐标系中，设点 $M$的坐标为 $(x,y)$，过 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于 $P$，作 $\mathit{MQ}\perp y$轴于 $Q$，则 $P$点坐标为 $(x,0)$， $Q$点坐标为 $(0,y)$， $\mathit{OP}=\left|x\right|$， $\mathit{OQ}=\left|y\right|$，在 $\text{Rt}\Delta \text{OPM}$中， $\mathit{PM}=\mathit{OQ}=\left|y\right|$，则 $\mathit{MO}=\sqrt{O{P}^2+P{M}^2}=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=\sqrt{x^2+y^2}$，因此， $\sqrt{x^2+y^2}$ 的几何意义可以理解为点 $M(x,y)$与点 $O(0,0)$之间的距离 $\mathit{MO}$．

（2）探究 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义

如图④，在直角坐标系中，设点 $A\text{'}$的坐标为 $(x-1,y-5)$，由探究二（1）可知， $A\text{'}O=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，将线段 $A\text{'}O$先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段 $\mathit{AB}$，此时点 $A$的坐标为 $(x,y)$，点 $B$的坐标为 $(1,5)$，因为 $\mathit{AB}=A\text{'}O$，所以 $\mathit{AB}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$，因此 $\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-5)}^2}$的几何意义可以理解为点 $A(x,y)$与点 $B(1,5)$之间的距离 $\mathit{AB}$．

（3）探究 $\sqrt{{(x+3)}^2+{(y-4)}^2}$的几何意义

请仿照探究二（2）的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．

（4） $\sqrt{{(x-a)}^2+{(y-b)}^2}$的几何意义可以理解为：　　．

拓展应用：

（1） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的几何意义可以理解为：点 $A(x,y)$与点 $E(2,-1)$的距离和点 $A(x,y)$与点 $F$　　（填写坐标）的距离之和．

（2） $\sqrt{{(x-2)}^2+{(y+1)}^2}+\sqrt{{(x+1)}^2+{(y+5)}^2}$的最小值为　　（直接写出结果）

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $O$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$， $\mathit{AD}$的中点，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta DCF}$；

（2）当 $\mathit{AB}$与 $\mathit{BC}$满足什么关系时，四边形 $\mathit{AEOF}$是正方形？请说明理由．

已知：四边形 $\mathit{ABCD}$．

求作：点 $P$，使 $\angle \mathit{PCB}=\angle B$，且点 $P$到边 $\mathit{AD}$和 $\mathit{CD}$的距离相等．

数学课上，张老师出示了问题：如图1， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$是四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线，若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=60°$，则线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AC}$三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AE}$，证得 $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADC}$，从而容易证明 $\mathit{\Delta ACE}$是等边三角形，故 $\mathit{AC}=\mathit{CE}$，所以 $\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕着点 $A$逆时针旋转 $60°$，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{AD}$重合，从而容易证明 $\mathit{\Delta ACF}$是等边三角形，故 $\mathit{AC}=\mathit{CF}$，所以 $\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图4，如果把“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=60°$”改为“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=45°$”，其它条件不变，那么线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AC}$三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：如图5，如果把“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=60°$”改为“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=\alpha$”，其它条件不变，那么线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AC}$三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{DE}$， $\mathit{AB}=\mathit{DE}$， $\mathit{BE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{AC}//\mathit{DF}$．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta DEC}$是两个大小不同的等腰直角三角形．

（1）如图①所示，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DB}$，试判断线段 $\mathit{AE}$和 $\mathit{DB}$的数量和位置关系，并说明理由；

（2）如图②所示，连接 $\mathit{DB}$，将线段 $\mathit{DB}$绕 $D$点顺时针旋转 $90°$到 $\mathit{DF}$，连接 $\mathit{AF}$，试判断线段 $\mathit{DE}$和 $\mathit{AF}$的数量和位置关系，并说明理由．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BM}$，同时得到线段 $\mathit{BN}$， $\mathit{MN}$．请你观察图1，猜想 $\angle \mathit{MBN}$的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $\mathit{BMN}$剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $\mathit{MN}$与 $\mathit{BM}$的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$， $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{EAD}=60°$，点 $E$， $A$， $C$在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$，点 $F$是 $\mathit{BD}$的中点，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{CF}$，试判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状并说明理由．

问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究 $\mathit{\Delta CEF}$的两条边是否相等，如 $\mathit{EF}=\mathit{CF}$，以下是她的证明过程

证明：延长线段 $\mathit{EF}$交 $\mathit{CB}$的延长线于点 $G$． $\because F$是 $\mathit{BD}$的中点， $\therefore \mathit{BF}=\mathit{DF}$． $\because \angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{AED}=90°$， $\therefore \mathit{ED}//\mathit{CG}$．

$\therefore \angle \mathit{BGF}=\angle \mathit{DEF}$． 又 $\because \angle \mathit{BFG}=\angle \mathit{DFE}$， $\therefore \mathit{\Delta BGF}\cong \mathit{\Delta DEF}($　 $\mathit{AAS}$　 $)$． $\therefore \mathit{EF}=\mathit{FG}$． $\therefore \mathit{CF}=\mathit{EF}=\frac{1}{2}\mathit{EG}$．

请根据以上证明过程，解答下列两个问题：

①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在 $\mathit{SAS}$， $\mathit{ASA}$， $\mathit{AAS}$， $\mathit{SSS}$中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出 $\angle \mathit{CEF}$的度数，并判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状．

问题拓展：

（3）如图2，当 $\mathit{\Delta ADE}$绕点 $A$逆时针旋转某个角度时，连接 $\mathit{CE}$，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $P$，其他条件不变，判断 $\mathit{\Delta CEF}$的形状并给出证明．