初中数学二次函数综合题试题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=x^2-2x-3$交 $x$轴于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），将该抛物线位于 $x$轴上方曲线记作 $M$，将该抛物线位于 $x$轴下方部分沿 $x$轴翻折，翻折后所得曲线记作 $N$，曲线 $N$交 $y$轴于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求曲线 $N$所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆的半径；

（3）点 $P$为曲线 $M$或曲线 $N$上的一动点，点 $Q$为 $x$轴上的一个动点，若以点 $B$， $C$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $Q$的坐标．

如图，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$的图象经过点 $A(3,0)$， $B(4,1)$，且与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．

（1）求此二次函数的关系式；

（2）判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状；若 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆记为 $\odot M$，请直接写出圆心 $M$的坐标；

（3）若将抛物线沿射线 $\mathit{BA}$方向平移，平移后点 $A$、 $B$、 $C$的对应点分别记为点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，△ $A_1{B}_1{C}_1$的外接圆记为 $\odot M_1$，是否存在某个位置，使 $\odot M_1$经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(4,0)$，顶点为 $B$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BO}$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若 $C$是 $\mathit{BO}$的中点，点 $Q$在线段 $\mathit{AB}$上，设点 $B$关于直线 $\mathit{CQ}$的对称点为 $B^{\text{'}}$，当 $\mathit{\Delta OC}{B}^{\text{'}}$为等边三角形时，求 $\mathit{BQ}$的长度；

（3）若点 $D$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{OD}=2\mathit{DB}$，点 $E$、 $F$在 $\mathit{\Delta OAB}$的边上，且满足 $\mathit{\Delta DOF}$与 $\mathit{\Delta DEF}$全等，求点 $E$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

已知二次函数 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c(a>0)$的图象与 $x$轴的负半轴和正半轴分别交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，它的顶点为 $P$，直线 $\mathit{CP}$与过点 $B$且垂直于 $x$轴的直线交于点 $D$，且 $\mathit{CP}:\mathit{PD}=2:3$

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）若 $\tan \angle \mathit{PDB}=\frac{5}{4}$，求这个二次函数的关系式．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $(-1,m^2+2m+1)$、 $(0,m^2+2m+2)$两点，其中 $m$为常数．

（1）求 $b$的值，并用含 $m$的代数式表示 $c$；

（2）若抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴有公共点，求 $m$的值；

（3）设 $(a,y_1)$、 $(a+2,y_2)$是抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$上的两点，请比较 $y_2-y_1$与0的大小，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过两点 $A(-1,1)$， $B(2,2)$．过点 $B$作 $\mathit{BC}//x$轴，交抛物线于点 $C$，交 $y$轴于点 $D$．

（1）求此抛物线对应的函数表达式及点 $C$的坐标；

（2）若抛物线上存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta BCM}$的面积为 $\frac{7}{2}$，求出点 $M$的坐标；

（3）连接 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$、 $\mathit{OC}$、 $\mathit{AC}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta AOC}$与 $\mathit{\Delta OBN}$相似（边 $\mathit{OA}$与边 $\mathit{OB}$对应）的点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$、 $B$、 $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(0,8)$，点 $B$的坐标为 $(-4,0)$．

（1）求该二次函数的表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $D$的坐标为 $(0,4)$，点 $F$为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$，以 $\mathit{CD}$、 $\mathit{CF}$为邻边作平行四边形 $\mathit{CDEF}$，设平行四边形 $\mathit{CDEF}$的面积为 $S$．

①求 $S$的最大值；

②在点 $F$的运动过程中，当点 $E$落在该二次函数图象上时，请直接写出此时 $S$的值．

我们把方程 ${(x-m)}^2+{(y-n)}^2=r^2$ 称为圆心为 $(m,n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1,-2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$ ．在平面直角坐标系中， $\odot C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8,0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D(0,4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $\odot C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $\mathit{AE}$ 与 $\odot C$ 的位置关系，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，一次函数 $y=x$与二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}$的图象相交于 $O$、 $A$两点，点 $A(3,3)$，点 $M$为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为 $2\sqrt{2}$的线段 $\mathit{PQ}$在线段 $\mathit{OA}$（不包括端点）上滑动，分别过点 $P$、 $Q$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $P_1$、 $Q_1$，求四边形 $\mathit{PQ}{Q}_1{P}_1$面积的最大值；

（3）直线 $\mathit{OA}$上是否存在点 $E$，使得点 $E$关于直线 $\mathit{MA}$的对称点 $F$满足 $S_{\mathit{\Delta AOF}}=S_{\mathit{\Delta AOM}}$？若存在，求出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线 $y=x^2-4x$．

（1）求证：直线 $l$与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线 $l$与该抛物线两交点为 $A$， $B$， $O$为原点，当 $k=-2$时，求 $\mathit{\Delta OAB}$的面积．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a$ 的图象经过点 $C(0,2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $\mathit{BC}$ ，直线 $y=\mathit{kx}+1(k>0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y=-\frac{1}{2}{(x-m)}^2+4$图象的顶点为 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，异于顶点 $A$的点 $C(1,n)$在该函数图象上．

（1）当 $m=5$时，求 $n$的值．

（2）当 $n=2$时，若点 $A$在第一象限内，结合图象，求当 $y⩾2$时，自变量 $x$的取值范围．

（3）作直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴相交于点 $D$．当点 $B$在 $x$轴上方，且在线段 $\mathit{OD}$上时，求 $m$的取值范围．

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)=0$有实数根．

（1）求 $m$的值；

（2）先作 $y=x^2-(m+1)x+\frac{1}{2}(m^2+1)$的图象关于 $x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，当直线 $y=2x+n(n⩾m)$与变化后的图象有公共点时，求 $n^2-4n$的最大值和最小值．

如图1，抛物线的顶点 $A$的坐标为 $(1,4)$，抛物线与 $x$轴相交于 $B$、 $C$两点，与 $y$轴交于点 $E(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F(0,-3)$，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$，使得 $\mathit{EG}+\mathit{FG}$最小，如果存在，求出点 $G$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$，若点 $P$是线段 $\mathit{OE}$上的一动点，过点 $P$作线段 $\mathit{AB}$的垂线，分别与线段 $\mathit{AB}$、抛物线相交于点 $M$、 $N$（点 $M$、 $N$都在抛物线对称轴的右侧），当 $\mathit{MN}$最大时，求 $\mathit{\Delta PON}$的面积．