如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx与二次函数yx2

更新 2022-09-04
科目数学
题型计算题
难度中等
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如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = x$ 与二次函数 $y = x^{2} + bx$ 的图象相交于 $O$ 、 $A$ 两点，点 $A (3, 3)$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为 $2 \sqrt{2}$ 的线段 $PQ$ 在线段 $OA$ （不包括端点）上滑动，分别过点 $P$ 、 $Q$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $P_{1}$ 、 $Q_{1}$ ，求四边形 $PQ Q_{1} P_{1}$ 面积的最大值；

（3）直线 $OA$ 上是否存在点 $E$ ，使得点 $E$ 关于直线 $MA$ 的对称点 $F$ 满足 $S_{ΔAOF} = S_{ΔAOM}$ ？若存在，求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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