综合与探究
如图,抛物线 与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧),与 轴交于点 .直线 与抛物线交于 , 两点,与 轴交于点 ,点 的坐标为 .
(1)请直接写出 , 两点的坐标及直线 的函数表达式;
(2)若点 是抛物线上的点,点 的横坐标为 ,过点 作 轴,垂足为 . 与直线 交于点 ,当点 是线段 的三等分点时,求点 的坐标;
(3)若点 是 轴上的点,且 ,求点 的坐标.
如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线 经过 、 两点,与 轴的另一个交点为 ,与 轴相交于点 .
(1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为 ,求四边形 的面积.(请在图1中探索)
(3)设点 在 轴上,点 在抛物线上.要使以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点 的坐标.(请在图2中探索)
如图①,在平面直角坐标系 中,抛物线 经过点 、 两点,且与 轴交于点 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于 轴,并沿 轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于 、 两点(点 在点 的左侧),连接 ,在线段 上方抛物线上有一动点 ,连接 、 .
(Ⅰ)若点 的横坐标为 ,求 面积的最大值,并求此时点 的坐标;
(Ⅱ)直尺在平移过程中, 面积是否有最大值?若有,求出面积的最大值;若没有,请说明理由.
已知:如图,一次函数 的图象经过点 , ,与 轴交于点 .点 在线段 上,且 ,过点 作 轴的垂线,垂足为点 .若 .
(1)求这个一次函数的表达式;
(2)已知一开口向下、以直线 为对称轴的抛物线经过点 ,它的顶点为 ,若过点 且垂直于 的直线与 轴的交点为 , ,求这条抛物线的函数表达式.
如图,二次函数 的图象与 轴交于点 、 ,与 轴交于点 ,点 的坐标为 , 是抛物线上一点(点 与点 、 、 不重合).
(1) ,点 的坐标是 ;
(2)设直线 与直线 相交于点 ,是否存在这样的点 ,使得 ?若存在,求出点 的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接 、 ,判断 和 的数量关系,并说明理由.
小贤与小杰在探究某类二次函数问题时,经历了如下过程:
求解体验:
(1)已知抛物线 经过点 ,则 ,顶点坐标为 ,该抛物线关于点 成中心对称的抛物线表达式是 .
抽象感悟:
我们定义:对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心,作该抛物线关于点 中心对称的抛物线 ,则我们又称抛物线 为抛物线 的“衍生抛物线”,点 为“衍生中心”.
(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,若这两条抛物线有交点,求 的取值范围.
问题解决:
(3)已知抛物线
①若抛物线 的衍生抛物线为 ,两抛物线有两个交点,且恰好是它们的顶点,求 、 的值及衍生中心的坐标;
②若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ;关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ; ;关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 为正整数).求 的长(用含 的式子表示).
如图,在平面直角坐标系 中,已知 , 两点的坐标分别为 , , 是线段 上一点(与 , 点不重合),抛物线 经过点 , ,顶点为 ,抛物线 经过点 , ,顶点为 , , 的延长线相交于点 .
(1)若 , ,求抛物线 , 的解析式;
(2)若 , ,求 的值;
(3)是否存在这样的实数 ,无论 取何值,直线 与 都不可能互相垂直?若存在,请直接写出 的两个不同的值;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 过 、 ,直线 交抛物线于点 ,点 的横坐标为 ,点 是线段 上的动点,过点 的直线垂直于 轴,交抛物线于点 .
(1)求直线 及抛物线的解析式;
(2)求线段 的长度 与 的关系式, 为何值时, 最长?
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数) ,使得 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 的坐标;若不存在,说明理由.
已知:如图,抛物线 与坐标轴分别交于点 , , ,点 是线段 上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点 运动到什么位置时, 的面积有最大值?
(3)过点 作 轴的垂线,交线段 于点 ,再过点 做 轴交抛物线于点 ,连接 ,请问是否存在点 使 为等腰直角三角形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,说明理由.
在平面直角坐标系 中,已知抛物线的顶点坐标为 ,且经过点 ,如图,直线 与抛物线交于 、 两点,直线 为 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)在 上是否存在一点 ,使 取得最小值?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)知 , 为平面内一定点, 为抛物线上一动点,且点 到直线 的距离与点 到点 的距离总是相等,求定点 的坐标.
如图,已知抛物线 的对称轴是直线 ,且与 轴相交于 , 两点 点在 点右侧)与 轴交于 点.
(1)求抛物线的解析式和 、 两点的坐标;
(2)若点 是抛物线上 、 两点之间的一个动点(不与 、 重合),则是否存在一点 ,使 的面积最大.若存在,请求出 的最大面积;若不存在,试说明理由;
(3)若 是抛物线上任意一点,过点 作 轴的平行线,交直线 于点 ,当 时,求 点的坐标.
如图,对称轴为直线 的抛物线 与 轴交于 , 、 , 两点,与 轴交于 点,且 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线顶点为 ,直线 交 轴于 点;
①设点 为线段 上一点(点 不与 、 两点重合),过点 作 轴的垂线与抛物线交于点 ,求 面积的最大值;
②在线段 上是否存在点 ,使得 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 与 轴交于点 和点 ,交 轴于点 ,过点 作 轴,交抛物线于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线 与线段 、 分别交于 、 两点,过 点作 轴于点 ,过点 作 轴于点 ,求矩形 的最大面积;
(3)若直线 将四边形 分成左、右两个部分,面积分别为 , ,且 ,求 的值.
如图,抛物线顶点 ,与 轴交于点 ,与 轴交于点 , .
(1)求抛物线的解析式.
(2) 是抛物线上除点 外一点, 与 的面积相等,求点 的坐标.
(3)若 , 为抛物线上两个动点,分别过点 , 作直线 的垂线段,垂足分别为 , .是否存在点 , 使四边形 为正方形?如果存在,求正方形 的边长;如果不存在,请说明理由.