初中数学反比例函数综合题解答题

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在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4,4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为 　　；

②若点 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3,-4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6,-2)$ 若使函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象分别交于 $C$， $D$两点，点 $C(2,4)$，点 $B$是线段 $\mathit{AC}$的中点．

（1）求一次函数 $y=k_{1}x+b$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta COD}$的面积；

（3）直接写出当 $x$取什么值时， $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$的图象与 $y$轴交于点 $C$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于 $A$， $B$两点，点 $A$在第一象限，纵坐标为4，点 $B$在第三象限， $\mathit{BM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{BM}=\mathit{OM}=2$．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式．

（2）连接 $\mathit{OB}$， $\mathit{MC}$，求四边形 $\mathit{MBOC}$的面积．

如图，点 $A(2,n)$和点 $D$是反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0,x>0)$图象上的两点，一次函数 $y=\mathit{kx}+3(k\ne 0)$的图象经过点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，与 $x$轴交于点 $C$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OA}$， $\mathit{OD}$．已知 $\mathit{\Delta OAB}$与 $\mathit{\Delta ODE}$的面积满足 $S_{\mathit{\Delta OAB}}:S_{\mathit{\Delta ODE}}=3:4$．

（1） $S_{\mathit{\Delta OAB}}=$　    　， $m=$　    　；

（2）已知点 $P(6,0)$在线段 $\mathit{OE}$上，当 $\angle \mathit{PDE}=\angle \mathit{CBO}$时，求点 $D$的坐标．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m\ne 0,x>0)$图象的两个交点分别为 $A(4,\frac{1}{2})$， $B(1,2)$， $\mathit{AC}\perp x$轴于点 $C$， $\mathit{BD}\perp y$轴于点 $D$．

（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当 $x$取何值时，一次函数值大于反比例函数值？

（2）求一次函数的解析式及 $m$的值；

（3） $P$是线段 $\mathit{AB}$上的一点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PD}$，若 $\mathit{\Delta PCA}$和 $\mathit{\Delta PDB}$的面积相等，求点 $P$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中， $A$点的坐标为 $(a,6)$， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\cos \angle \mathit{OAB}==\frac{3}{5}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的一支分别交 $\mathit{AO}$、 $\mathit{AB}$于点 $C$、 $D$．延长 $\mathit{AO}$交反比例函数的图象的另一支于点 $E$．已知点 $D$的纵坐标为 $\frac{3}{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求直线 $\mathit{EB}$的解析式；

（3）求 $S_{\mathit{\Delta OEB}}$．

如图，正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp y$ 轴于点 $B$ ， $\mathit{OB}=4$ ，点 $C$ 在线段 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AC}=\mathit{OC}$ ．

（1）求 $k$ 的值及线段 $\mathit{BC}$ 的长；

（2）点 $P$ 为 $B$ 点上方 $y$ 轴上一点，当 $\mathit{\Delta POC}$ 与 $\mathit{\Delta PAC}$ 的面积相等时，请求出点 $P$ 的坐标．

如图，过 $C$ 点的直线 $y=-\frac{1}{2}x-2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ 两点，且 $\mathit{BC}=\mathit{AB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CH}\perp x$ 轴，垂足为点 $H$ ，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象于点 $D$ ，连接 $\mathit{OD}$ ， $\mathit{\Delta ODH}$ 的面积为6．

（1）求 $k$ 值和点 $D$ 的坐标；

（2）如图，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{OC}$ ，点 $E$ 在直线 $y=-\frac{1}{2}x-2$ 上，且位于第二象限内，若 $\mathit{\Delta BDE}$ 的面积是 $\mathit{\Delta OCD}$ 面积的2倍，求点 $E$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$和 $y=-2x$的图象相交于点 $A$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象经过点 $A$．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）设一次函数 $y=\frac{1}{2}x+5$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象的另一个交点为 $B$，连接 $\mathit{OB}$，求 $\mathit{\Delta ABO}$的面积．

如图， $A(4,3)$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$在第一象限图象上一点，连接 $\mathit{OA}$，过 $A$作 $\mathit{AB}//x$轴，截取 $\mathit{AB}=\mathit{OA}(B$在 $A$右侧），连接 $\mathit{OB}$，交反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象于点 $P$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的表达式；

（2）求点 $B$的坐标；

（3）求 $\mathit{\Delta OAP}$的面积．

如图，已知一次函数 $y=-2x+8$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$两点，并与反比例函数 $y=\frac{8}{x}$的图象相切于点 $C$．

（1）切点 $C$的坐标是　　；

（2）若点 $M$为线段 $\mathit{BC}$的中点，将一次函数 $y=-2x+8$的图象向左平移 $m(m>0)$个单位后，点 $C$和点 $M$平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象上时，求 $k$的值．

设函数 $y_1=\frac{k}{x}$， $y_2=-\frac{k}{x}(k>0)$．

（1）当 $2⩽x⩽3$时，函数 $y_1$的最大值是 $a$，函数 $y_2$的最小值是 $a-4$，求 $a$和 $k$的值．

（2）设 $m\ne 0$，且 $m\ne -1$，当 $x=m$时， $y_1=p$；当 $x=m+1$时， $y_1=q$．圆圆说：“ $p$一定大于 $q$”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

已知反比例函数的图象经过三个点 $A(-4,-3)$， $B(2m,y_1)$， $C(6m,y_2)$，其中 $m>0$．

（1）当 $y_1-y_2=4$时，求 $m$的值；

（2）如图，过点 $B$、 $C$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，两垂线相交于点 $D$，点 $P$在 $x$轴上，若三角形 $\mathit{PBD}$的面积是8，请写出点 $P$坐标（不需要写解答过程）．

如图，已知反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(x<0)$的图象关于 $y$轴对称， $A(1,4)$， $B(4,m)$是函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$图象上的两点，连接 $\mathit{AB}$，点 $C(-2,n)$是函数 $y=\frac{k_2}{x}(x<0)$图象上的一点，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求 $m$， $n$的值；

（2）求 $\mathit{AB}$所在直线的表达式；

（3）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．