初中数学反比例函数综合题解答题

如图，一次函数 y＝ ax+ b的图象与反比例函数 y＝ （ x＞0）的图象交于点 P（ m，4），与 x轴交于点 A（﹣3，0），与 y轴交于点 C， PB⊥ x轴于点 B，且 AC＝ BC．

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）反比例函数图象上是否存在点 D，使四边形 BCPD为菱形？如果存在，求出点 D的坐标；如果不存在，说明理由．

如图，点 $B$ 是反比例函数 $y=\frac{8}{x}(x>0)$ 图象上一点，过点 $B$ 分别向坐标轴作垂线，垂足为 $A$ ， $C$ ．反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过 $\mathit{OB}$ 的中点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 分别相交于点 $D$ ， $E$ ．连接 $\mathit{DE}$ 并延长交 $x$ 轴于点 $F$ ，点 $G$ 与点 $O$ 关于点 $C$ 对称，连接 $\mathit{BF}$ ， $\mathit{BG}$ ．

（1）填空： $k=$ 　 　；

（2）求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）求证：四边形 $\mathit{BDFG}$ 为平行四边形．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $y$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=3$， $A(2,1)$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象经过的 $B$．

（1）求点 $B$的坐标和反比例函数的关系式；

（2）如图2，直线 $\mathit{MN}$分别与 $x$轴、 $y$轴的正半轴交于 $M$， $N$两点，若点 $O$和点 $B$关于直线 $\mathit{MN}$成轴对称，求线段 $\mathit{ON}$的长；

（3）如图3，将线段 $\mathit{OA}$延长交 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象于点 $D$，过 $B$， $D$的直线分别交 $x$轴、 $y$轴于 $E$， $F$两点，请探究线段 $\mathit{ED}$与 $\mathit{BF}$的数量关系，并说明理由．

如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，等腰 $\mathit{\Delta OAB}$ 的边 $\mathit{OB}$ 与反比例函数 $y=\frac{m}{x}(m>0)$ 的图象相交于点 $C$ ，其中 $\mathit{OB}=\mathit{AB}$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(2,4)$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CH}\perp x$ 轴于点 $H$ ．

（1）已知一次函数的图象过点 $O$ ， $B$ ，求该一次函数的表达式；

（2）若点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上的一点，满足 $\mathit{OC}=\sqrt{3}\mathit{AP}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp x$ 轴于点 $Q$ ，连结 $\mathit{OP}$ ，记 $\mathit{\Delta OPQ}$ 的面积为 $S_{\mathit{\Delta OPQ}}$ ，设 $\mathit{AQ}=t$ ， $T=O{H}^2-S_{\mathit{\Delta OPQ}}$

①用 $t$ 表示 $T$ （不需要写出 $t$ 的取值范围）；

②当 $T$ 取最小值时，求 $m$ 的值．

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4,4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为 　　；

②若点 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3,-4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6,-2)$ 若使函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

（1）阅读理解

如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．

小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：

，

由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：

若，则　　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的图象分别交于 $C$， $D$两点，点 $C(2,4)$，点 $B$是线段 $\mathit{AC}$的中点．

（1）求一次函数 $y=k_{1}x+b$与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}$的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta COD}$的面积；

（3）直接写出当 $x$取什么值时， $k_{1}x+b<\frac{k_2}{x}$．

阅读下面的材料：

如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，

（1）若，都有，则称是增函数；

（2）若，都有，则称是减函数．

例题：证明函数是减函数．

证明：设，

．

，

，．

．即．

．

函数是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

已知函数，

，

（1）计算：　　，　　；

（2）猜想：函数是　　函数（填“增”或“减” ；

（3）请仿照例题证明你的猜想．

小明在研究矩形面积与矩形的边长，之间的关系时，得到下表数据：

	0.5	1	1.5	2	3	4	6	12
	12	6	4	3	2		1	0.5

结果发现一个数据被墨水涂黑了

（1）被墨水涂黑的数据为　　．

（2）与之间的函数关系式为　　，且随的增大而　　．

（3）如图是小明画出的关于的函数图象，点、均在该函数的图象上，其中矩形的面积记为，矩形的面积记为，请判断和的大小关系，并说明理由．

（4）在（3）的条件下，交于点，反比例函数的图象经过点交于点，连接、，则四边形的面积为　　．

模具厂计划生产面积为4，周长为的矩形模具．对于的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　一　象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．

（3）平移直线，观察函数图象

①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为　　；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围．

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长的取值范围为　　．

如图，一次函数 $y=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$ 的图象交于点 $A(2,3)$ ， $B(n,-1)$ ．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）判断点 $P(-2,1)$ 是否在一次函数 $y=k_{1}x+b$ 的图象上，并说明理由；

（3）写出不等式 $k_{1}x+b⩾\frac{k_2}{x}$ 的解集．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，点 $C(2,0)$ ，点 $B(0,4)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $A$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）将直线 $\mathit{OA}$ 向上平移 $m$ 个单位后经过反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 图象上的点 $(1,n)$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要 $19\mathit{min}$；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要 $11\mathit{min}$．

（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？

（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度 $y$（单位： $\mathit{mg}/m^3)$与时间 $x$（单位： $\mathit{min})$的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时 $y$与 $x$的函数关系式为 $y=2x$，药物喷洒完成后 $y$与 $x$成反比例函数关系，两个函数图象的交点为 $A(m,n)$．当教室空气中的药物浓度不高于 $1\mathit{mg}/m^3$时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．

如图，直线 $y=\mathit{ax}+2$与 $x$轴交于点 $A(1,0)$，与 $y$轴交于点 $B(0,b)$．将线段 $\mathit{AB}$先向右平移1个单位长度、再向上平移 $t(t>0)$个单位长度，得到对应线段 $\mathit{CD}$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象恰好经过 $C$、 $D$两点，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求 $a$和 $b$的值；

（2）求反比例函数的表达式及四边形 $\mathit{ABDC}$的面积；

（3）点 $N$在 $x$轴正半轴上，点 $M$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上的一个点，若 $\mathit{\Delta CMN}$是以 $\mathit{CM}$为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点 $M$的坐标．

将直线 向下平移1个单位长度，得到直线 ，若反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与直线 相交于点 ，且点 的纵坐标是3．

（1）求 和 的值；

（2）结合图象求不等式 $3x+m>\frac{k}{x}$ 的解集．