（1）阅读理解

如图，点$A$，$B$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，连接$\mathit{AB}$，取线段$\mathit{AB}$的中点$C$．分别过点$A$，$C$，$B$作$x$轴的垂线，垂足为$E$，$F$，$G$，$\mathit{CF}$交反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象于点$D$．点$E$，$F$，$G$的横坐标分别为$n-1$，$n$，$n+1(n>1)$．

小红通过观察反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象，并运用几何知识得出结论：

$\mathit{AE}+\mathit{BG}=2\mathit{CF}$，$\mathit{CF}>\mathit{DF}$

由此得出一个关于$\frac{1}{n-1}$，$\frac{1}{n+1}$，$\frac{2}{n}$，之间数量关系的命题：

若$n>1$，则　$\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+1}>\frac{2}{n}$　．

（2）证明命题

小东认为：可以通过“若$a-b⩾0$，则$a⩾b$”的思路证明上述命题．

小晴认为：可以通过“若$a>0$，$b>0$，且$a÷b⩾1$，则$a⩾b$”的思路证明上述命题．

请你选择一种方法证明（1）中的命题．