初中数学试题

已知抛物线 $c_1$的顶点为 $A(-1,4)$，与 $y$轴的交点为 $D(0,3)$．

（1）求 $c_1$的解析式；

（2）若直线 $l_1:y=x+m$与 $c_1$仅有唯一的交点，求 $m$的值；

（3）若抛物线 $c_1$关于 $y$轴对称的抛物线记作 $c_2$，平行于 $x$轴的直线记作 $l_2:y=n$．试结合图形回答：当 $n$为何值时， $l_2$与 $c_1$和 $c_2$共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

（4）若 $c_2$与 $x$轴正半轴交点记作 $B$，试在 $x$轴上求点 $P$，使 $\mathit{\Delta PAB}$为等腰三角形．

如图，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B(3,0)$， $C(0,-2)$，直线 $l:y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$交 $y$轴于点 $E$，且与抛物线交于 $A$， $D$两点， $P$为抛物线上一动点（不与 $A$， $D$重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$下方时，过点 $P$作 $\mathit{PM}//x$轴交 $l$于点 $M$， $\mathit{PN}//y$轴交 $l$于点 $N$，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$的最大值．

（3）设 $F$为直线 $l$上的点，以 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 $F$的坐标；若不能，请说明理由．

已知点 $O$是正方形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$的中点．

（1）如图1，若点 $E$是 $\mathit{OD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使得 $\angle \mathit{CEF}=90°$，过点 $E$作 $\mathit{ME}//\mathit{AD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\mathit{CD}$于点 $N$．求证：

① $\angle \mathit{AEM}=\angle \mathit{FEM}$； ②点 $F$是 $\mathit{AB}$的中点；

（2）如图2，若点 $E$是 $\mathit{OD}$上一点，点 $F$是 $\mathit{AB}$上一点，且使 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DO}}=\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{3}$，请判断 $\mathit{\Delta EFC}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若 $E$是 $\mathit{OD}$上的动点（不与 $O$， $D$重合），连接 $\mathit{CE}$，过 $E$点作 $\mathit{EF}\perp \mathit{CE}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，当 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DB}}=\frac{m}{n}$时，请猜想 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}$的值（请直接写出结论）．

如图1，直线 $y=x+1$与抛物线 $y=2x^2$相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $M$， $M$、 $N$关于 $x$轴对称，连接 $\mathit{AN}$、 $\mathit{BN}$．

（1）①求 $A$、 $B$的坐标；②求证： $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$；

（2）如图2，将题中直线 $y=x+1$变为 $y=\mathit{kx}+b(b>0)$，抛物线 $y=2x^2$变为 $y=a{x}^2(a>0)$，其他条件不变，那么 $\angle \mathit{ANM}=\angle \mathit{BNM}$是否仍然成立？请说明理由．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$为 $\mathit{AB}$延长线上的一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AD}\perp \mathit{PC}$，垂足为 $D$，弦 $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAB}=\angle \mathit{CAD}$；

（2）求证： $\mathit{PC}=\mathit{PF}$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{3}{2}$， $\mathit{AE}=5\sqrt{2}$，求线段 $\mathit{PC}$的长．

如图，动点 $M$在以 $O$为圆心， $\mathit{AB}$为直径的半圆弧上运动（点 $M$不与点 $A$、 $B$及 $\widehat{\mathit{AB}}$的中点 $F$重合），连接 $\mathit{OM}$．过点 $M$作 $\mathit{ME}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，以 $\mathit{BE}$为边在半圆同侧作正方形 $\mathit{BCDE}$，过点 $M$作 $\odot O$的切线交射线 $\mathit{DC}$于点 $N$，连接 $\mathit{BM}$、 $\mathit{BN}$．

（1）探究：如图一，当动点 $M$在 $\widehat{\mathit{AF}}$上运动时；

①判断 $\mathit{\Delta OEM}\backsim \mathit{\Delta MDN}$是否成立？请说明理由；

②设 $\frac{\mathit{ME}+\mathit{NC}}{\mathit{MN}}=k$， $k$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

③设 $\angle \mathit{MBN}=\alpha$， $\alpha$是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）拓展：如图二，当动点 $M$在 $\widehat{\mathit{FB}}$上运动时；

分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论．（均不必说明理由）

如图所示，顶点为 $(\frac{1}{2}$， $-\frac{9}{4})$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $M(2,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $A$是抛物线与 $x$轴的交点（不与点 $M$重合），点 $B$是抛物线与 $y$轴的交点，点 $C$是直线 $y=x+1$上一点（处于 $x$轴下方），点 $D$是反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$图象上一点，若以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形是菱形，求 $k$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于两点 $A(-4,0)$和 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,2)$，动点 $D$沿 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$以每秒2个单位长度的速度由起点 $A$向终点 $B$运动，过点 $D$作 $x$轴的垂线，交 $\mathit{\Delta ABC}$的另一边于点 $E$，将 $\mathit{\Delta ADE}$沿 $\mathit{DE}$折叠，使点 $A$落在点 $F$处，设点 $D$的运动时间为 $t$秒．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使得 $\mathit{\Delta EFC}$为直角三角形？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（3）设四边形 $\mathit{DECO}$的面积为 $s$，求 $s$关于 $t$的函数表达式．

如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$是 $y$轴上的一点，且以 $B$， $C$， $D$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似，求点 $D$的坐标；

（3）如图2， $\mathit{CE}//x$轴与抛物线相交于点 $E$，点 $H$是直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的动点，过点 $H$且与 $y$轴平行的直线与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CE}$分别相交于点 $F$， $G$，试探究当点 $H$运动到何处时，四边形 $\mathit{CHEF}$的面积最大，求点 $H$的坐标及最大面积；

（4）若点 $K$为抛物线的顶点，点 $M(4,m)$是该抛物线上的一点，在 $x$轴， $y$轴上分别找点 $P$， $Q$，使四边形 $\mathit{PQKM}$的周长最小，求出点 $P$， $Q$的坐标．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $E$为边 $\mathit{AB}$上一动点，连接 $\mathit{CE}$并将其绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到 $\mathit{CF}$，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CF}$为邻边作矩形 $\mathit{CFGE}$， $\mathit{GE}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$分别交于点 $H$、 $M$， $\mathit{GF}$交 $\mathit{CD}$延长线于点 $N$．

（1）证明：点 $A$、 $D$、 $F$在同一条直线上；

（2）随着点 $E$的移动，线段 $\mathit{DH}$是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{MN}$，当 $\mathit{MN}//\mathit{EF}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图1， $\mathit{\Delta ABC}$是边长为 $4\mathit{cm}$的等边三角形，边 $\mathit{AB}$在射线 $\mathit{OM}$上，且 $\mathit{OA}=6\mathit{cm}$，点 $D$从 $O$点出发，沿 $\mathit{OM}$的方向以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动，当 $D$不与点 $A$重合时，将 $\mathit{\Delta ACD}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta BCE}$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形；

（2）如图2，当 $6<t<10$时， $\mathit{\Delta BDE}$的周长是否存在最小值？若存在，求出 $\mathit{\Delta BDE}$的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点 $D$在射线 $\mathit{OM}$上运动时，是否存在以 $D$、 $E$、 $B$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$在 $\mathit{BC}$上，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AD}$分别交 $\mathit{AD}$于 $E$， $\mathit{AC}$于 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{BD}=\mathit{BA}$，求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DBE}$；

（2）如图2，若 $\mathit{BD}=4\mathit{DC}$，取 $\mathit{AB}$的中点 $G$，连接 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于 $M$，求证：① $\mathit{GM}=2\mathit{MC}$；② $A{G}^2=\mathit{AF}·\mathit{AC}$．

抛物线 $y=-x^2+4\mathit{ax}+b(a>0)$与 $x$轴相交于 $O$、 $A$两点（其中 $O$为坐标原点），过点 $P(2,2a)$作直线 $\mathit{PM}\perp x$轴于点 $M$，交抛物线于点 $B$，点 $B$关于抛物线对称轴的对称点为 $C$（其中 $B$、 $C$不重合），连接 $\mathit{AP}$交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{BC}$和 $\mathit{PC}$．

（1） $a=\frac{3}{2}$时，求抛物线的解析式和 $\mathit{BC}$的长；

（2）如图 $a>1$时，若 $\mathit{AP}\perp \mathit{PC}$，求 $a$的值；

（3）是否存在实数 $a$，使 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{PN}}=\frac{1}{2}$？若存在，求出 $a$的值，如不存在，请说明理由．

如图， 在平面直角坐标系中， 把矩形 $\mathit{OABC}$沿对角线 $\mathit{AC}$所在直线折叠， 点 $B$落在点 $D$处， $\mathit{DC}$与 $y$轴相交于点 $E$，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$， $\mathit{OA}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-12x+32=0$的两个根， 且 $\mathit{OA}>\mathit{OC}$．

（1） 求线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$的长；

（2） 求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta COE}$，并求出线段 $\mathit{OE}$的长；

（3） 直接写出点 $D$的坐标；

（4） 若 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点， 在坐标平面内是否存在点 $P$，使以点 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出 $P$点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．

在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\frac{5}{3}x+c$的图象经过点 $C(0,2)$和点 $D(4,-2)$．点 $E$是直线 $y=-\frac{1}{3}x+2$与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点 $E$的坐标．

（2）如图①，若点 $M$是二次函数图象上的点，且在直线 $\mathit{CE}$的上方，连接 $\mathit{MC}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{ME}$．求四边形 $\mathit{COEM}$面积的最大值及此时点 $M$的坐标．

（3）如图②，经过 $A$、 $B$、 $C$三点的圆交 $y$轴于点 $F$，求点 $F$的坐标．