抛物线 y = − x 2 + 4 ax + b ( a > 0 ) 与 x 轴相交于 O 、 A 两点(其中 O 为坐标原点),过点 P ( 2 , 2 a ) 作直线 PM ⊥ x 轴于点 M ,交抛物线于点 B ,点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C (其中 B 、 C 不重合),连接 AP 交 y 轴于点 N ,连接 BC 和 PC .
(1) a = 3 2 时,求抛物线的解析式和 BC 的长;
(2)如图 a > 1 时,若 AP ⊥ PC ,求 a 的值;
(3)是否存在实数 a ,使 AP PN = 1 2 ?若存在,求出 a 的值,如不存在,请说明理由.
(满分8分)为迎接市教育局开展的“创先争优”主题演讲活动,某校组织党员教师进行演讲预赛.学校将所有参赛教师的成绩(得分为整数,满分为100分)分成四组,绘制了不完整的统计图表如下:观察图表信息,回答下列问题:(1)参赛教师共有 人;(2)如果将各组的组中值视为该组的平均成绩,请你估算所有参赛教师的平均成绩;(3)成绩落在第一组的恰好是两男两女四位教师,学校从中随机挑选两位教师参加市教育局组织的决赛.通过列表或画树状图求出挑选的两位教师是一男一女的概率.
(满分7分)五月石榴红,枝头鸟儿歌.一只小鸟从石榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处.从A处看房屋顶部C处的仰角为,看房屋底部D处的俯角为,石榴树与该房屋之间的水平距离为米,求出小鸟飞行的距离AC和房屋的高度CD.
(满分6分)若关于x的一元二次方程的两个实数根为、,且满足,试求出方程的两个实数根及k的值.
(本题9分)如图(1),Rt△ABC中,∠ACB=-90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F(1)求证:CE=CF.(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置,使点E’落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示.试猜想:BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.
(本题7分)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为 (即AB:BC=),且B、C、E三点在同一条盲线上。请根据以上杀件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计).