在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\frac{5}{3}x+c$的图象经过点 $C(0,2)$和点 $D(4,-2)$．点 $E$是直线 $y=-\frac{1}{3}x+2$与二次函数图象在第一象限内的交点．

（1）求二次函数的解析式及点 $E$的坐标．

（2）如图①，若点 $M$是二次函数图象上的点，且在直线 $\mathit{CE}$的上方，连接 $\mathit{MC}$， $\mathit{OE}$， $\mathit{ME}$．求四边形 $\mathit{COEM}$面积的最大值及此时点 $M$的坐标．

（3）如图②，经过 $A$、 $B$、 $C$三点的圆交 $y$轴于点 $F$，求点 $F$的坐标．