初中数学试题

已知 $\sqrt{a^2+2005}$是整数，求所有满足条件的正整数 $a$的和.

设 $S_1=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}\mathrm{，}{S}_2=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\mathrm{，}{S}_3=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\mathrm{，}\cdots \mathrm{，}{S}_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\mathrm{（}n+1{\mathrm{）}}^2}$，求 $\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\cdots +\sqrt{S_n}$的值.（用含 $n$的代数式表示，其中 $n$为正整数）

如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿 $\mathit{AD}$的方向平移，平移的距离为 $\mathit{AE}$的长，求阴影部分的面积（单位： $m$）.

如图，已知直线 $\mathit{BC}//\mathit{OA},\angle C=\angle \mathit{OAB}={100}^{\circ },E,F$在 $\mathit{CB}$上，且满足 $\angle \mathit{FOB}=\angle \mathit{AOB},\mathit{OE}$平分 $\angle \mathit{COF}$.

（1）求 $\angle \mathit{EOB}$的度数；

（2）若平行移动 $\mathit{AB}$，那么 $\angle \mathit{OBC}:\angle \mathit{OFC}$的值是否随之发生变化?若变化，找出规律；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动 $\mathit{AB}$的过程中，是否存在某种情况，使 $\angle \mathit{OEC}=\angle \mathit{OBA}$?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

两条直线相交，四个交角中的一个锐角（或一个直角）称为这两条直线的“夹角”（如图），如果在平面上画 $L$条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是 $15°，30°，45°，60°，75°，90°$其中之一，问：

（1） $L$的最大值是什么?

（2）当 $L$取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少?

在直角坐标系中，有以 $A\left(-1\mathrm{，}-1\right)，B\left(1\mathrm{，}-1\right)，C\left(1\mathrm{，}1\right)，D\left(-1\mathrm{，}1\right)$为顶点的正方形，设它在折线 $y=|x-a|+a$上侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于 $a$的函数关系式.

为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

（1）若甲用户 $3$月份的用气量为 $60m^3$，则应缴费＿＿＿＿＿元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为 $y$（元），每月的用气量为 $x$（ $m^3$）， $y$与 $x$之间的关系如下图所示，求 $a$的值及 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户 $2，3$月份共用气 $175m^3$（ $3$月份用气量低于 $2$月份用气量），共缴费 $455$元，乙用户 $2，3$月份的用气量各是多少？

（1）如图①， $△\mathit{ABC}$的面积是 $10$，点 $E$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{AE}\mathrm{，}△\mathit{AEC}$的面积是＿＿＿＿＿.

（2）如图②，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是 $10$，点 $E\mathrm{，}F$分别是一组对边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AF}\mathrm{，}\mathit{CE}$，则四边形 $\mathit{AECF}$的面积是＿＿＿＿＿.

（3）如图③，点 $E\mathrm{，}F$分别是一组对边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CD}$上的点，且 $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{CF}=\frac{1}{3}\mathit{CD}$，若四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是 $10$，连接 $\mathit{AF}\mathrm{，}\mathit{CE}$，则四边形 $\mathit{AECF}$的面积是＿＿＿＿＿.

（4）如图④， $\mathrm{◻}\mathit{ABCD}$的面积是 $2\mathrm{，}\mathit{AB}=a\mathrm{，}\mathit{BC}=b$，点 $E$从点 $A$出发沿 $\mathit{AB}$以每秒 $v$个单位长的速度向点 $B$运动，点 $F$从点 $B$出发沿 $\mathit{BC}$以每秒 $\frac{\mathit{bv}}{a}$个单位长的速度向点 $C$运动.点 $E\mathrm{，}F$分别从点 $A\mathrm{，}B$同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.请问四边形 $\mathit{DEBF}$的面积的值是否随着时间 $t$的变化而变化?若不变，请求出这个值；若变化，说明怎样变化的.

如图是甲、乙在一次射击比赛中击中靶的情况（击中靶中心的圆面为 $10$环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数），每人射击了 $6$次.

（1）请用列表法将他俩射击的成绩统计出来；

（2）请你用学过的统计知识，对他们的 $6$次射击情况进行比较.

阅读下面的材料，再回答问题：

一般地，如果函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$对于自变量取值范围内的任意数 $\mathrm{x}$，都有 $\mathrm{f}\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=-\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$，那么 $\mathrm{y}=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$就叫做奇函数；如果函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$对于自变量取值范围内的任意数 $\mathrm{x}$，都有 $\mathrm{f}\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$，那么 $\mathrm{y}=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$就叫做偶函数.

例如: $\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}={\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}$.

当 $\mathrm{x}$取任意实数时， $\mathrm{f}\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=\mathrm{（}-\mathrm{x}{\mathrm{）}}^3+\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=-{\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}=-\left({\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}\right)$，即 $\mathrm{f}\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=-\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$，所以 $\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}={\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}$为奇函数.又如 $\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}=\left|\mathrm{x}\right|$，当 $\mathrm{x}$取任意实数时， $\mathrm{f}\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=|-\mathrm{x}|=\left|\mathrm{x}\right|=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$，即 $\mathrm{f}\mathrm{（}-\mathrm{x}\mathrm{）}=\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}$，所以 $\mathrm{f}\mathrm{（}\mathrm{x}\mathrm{）}=\left|\mathrm{x}\right|$是偶函数.

问题（1）：下列函数中：① $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^4$；② $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2+1$；③ $\mathrm{y}=\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}$；④ $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+1}$；⑤ $\mathrm{y}=\mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}$；所有奇函数是＿＿＿＿＿，所有偶函数是＿＿＿＿＿（只填序号）

问题（2）：请你再分别写出一个奇函数和一个偶函数.

小华观察钟面（图（1）），了解到钟面上的分针每小时旋转 $360$度，时针每小时旋转 $30$度．他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午 $2:00$开始对钟面进行了一个小时的观察，为了方便，他将分针与时针原始位置 $\mathrm{OP}$（图（2））的夹角记为 ${\mathrm{y}}_1$度，时针与原始位置 $\mathrm{OP}$的夹角记为 ${\mathrm{y}}_2$度，（夹角是指不大于平角的角），旋转时间为 $\mathrm{tmin}$，观察结束后，他利用所得的数据制成图象（图（3）），并求出 ${\mathrm{y}}_1$与 $\mathrm{t}$的函数关系式 ${\mathrm{y}}_1\mathrm{＝}\left\{\begin{array}{c}6\mathrm{t}\mathrm{（}0⩽\mathrm{t}⩽30\mathrm{）}\\ -60\mathrm{t}\mathrm{＋}360\mathrm{（}30\mathrm{＜}\mathrm{t}⩽60\mathrm{）}\end{array}\right.$

请你完成：

（1）求出题图（3）中 ${\mathrm{y}}_2$与 $\mathrm{t}$的函数关系式；

（2）直接写出 $\mathrm{A}\mathrm{，}\mathrm{B}$两点的坐标，并解释这两点的实际意义；

（3）若小华继续观察一小时，请你在图（3）中补全图象．

如图，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 $\mathrm{y}\left(\mathrm{km}\right)$随时间 $\mathrm{x}\left(\min \right)$变化的图象（全程）．根据图象回答下列问题：

（1）比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇?

（2）这次比赛全程是多少千米?

（3）比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇?

如图，已知直线 $\mathrm{y}\mathrm{＝}-\mathrm{x}\mathrm{＋}2$与 $\mathrm{x}$轴， $\mathrm{y}$轴分别交于点 $\mathrm{A}$和点 $\mathrm{B}$，另一直线 $\mathrm{y}\mathrm{＝}\mathrm{kx}\mathrm{＋}\mathrm{b}\mathrm{（}\mathrm{k}\ne 0\mathrm{）}$经过 $\mathrm{C}\left(1\mathrm{，}0\right)$，且把 $△\mathrm{AOB}$分成两部分．

（1）若 $△\mathrm{AOB}$被分成的两部分面积相等，求 $\mathrm{k}$和 $\mathrm{b}$的值；

（2）若 $△\mathrm{AOB}$被分成的刑部分的面积比为 $1:5$，求 $\mathrm{k}$和 $\mathrm{b}$的值．

阅读下面的材料：

例1：求函数 $y=3x-1$的反函数；

解：由 $y=3x-1$，可得 $x=\frac{y+1}{3}$，所以原函数 $y=3x-1$的反函数是 $y=\frac{x+1}{3}$.

例2求函数 $y=\frac{x+3}{x-1}\left(x\ne 1\right)$的反函数.

解：由 $y=\frac{x+3}{x-1}$，可得 $x=\frac{y+3}{y-1}$，所以原函数 $y=\frac{x+3}{x-1}$的反函数是 $y=\frac{x+3}{x-1}\left(x\ne 1\right)$.

以上两例中，在相应的条件下，一个原函数有反函数时，原函数中自变量 $x$的取值范围就是它的反函数中函数值 $y$的取值范围，原函数中函数值 $y$的取值范围就是它的反函数中自变量 $x$的取值范围，通过以上内容完成下面任务.

（1）求函数 $y=-2x+3$的反函数；

（2）函数 $y=\frac{x-2}{x+1}$的反函数的函数值的取值范围为＿＿＿＿＿；

A．

$y\ne 1$

B．

$y\ne -1$

C．

$y\ne -2$

D．

$y\ne 2$

（3）下列函数中反函数是它本身的是＿＿＿＿＿（填序号即可）.

① $y=x$；② $y=x+1$；③ $y=-x+1$；④ $y=\frac{1}{x}$；⑤ $y=\frac{x+1}{x-1}\left(x\ne 1\right)$

如图，在梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},E$是 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AD}=5,\mathit{BC}=12,\mathit{CD}=4\sqrt{2},\angle C=45°$，点 $P$是 $\mathit{BC}$边上一动点，设 $\mathit{PB}$的长为 $x$.

（1）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为直角梯形?

（2）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为平行四边形?

（3）点 $P$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，以 $P,A,D,E$为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.