高中数学试题

若 $z=4+3i$ ，则 $\frac{\vec{z}}{\left|z\right|}$ =（　　）

A．

1

B．

﹣1

C．

$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}\mathit{i}$

D．

$\frac{4}{5}﹣\frac{3}{5}\mathit{i}$

设集合 $A=\left\{0，2，4，6，8，10\right\}$ ， $B=\left\{4，8\right\}$ ，则 ${\complement }_{A}B=$ （　　）

A．

$\left\{4，8\right\}\mathit{}$

B．

$\left\{0，2，6\right\}$

C．

$\left\{0，2，6，10\right\}$

D．

$\left\{0，2，4，6，8，10\right\}$

设定义在R上的函数 $f\left(x\right)$ 满足：对于任意的x ₁、x ₂∈R，当 _{$x_1<x_2$}时，都有 $f\left(x_1\right)\le f\left(x_2\right)$ ．

（1）若 $f\left(x\right)=a{x}^3+1$ ，求a的取值范围；

（2）若 $f\left(x\right)$ 是周期函数，证明： $f\left(x\right)$ 是常值函数；

（3）设 $f\left(x\right)$ 恒大于零， $g\left(x\right)$ 是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是 $g\left(x\right)$ 的最大值．函数 $h\left(x\right)=f\left(x\right)g\left(x\right)$ ．证明：" $h\left(x\right)$ 是周期函数"的充要条件是" $f\left(x\right)$ 是常值函数"．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ ，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．

（1）若P在第一象限，且|OP|= $\sqrt{2}$ ，求P的坐标；

（2）设P $\left(\frac{8}{5}，\frac{3}{5}\right)$ ，若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；

（3）若 $\left|MA\right|=\left|MP\right|$ ，直线AQ与Γ交于另一点C，且 $\stackrel{\rightharpoonup }{AQ}=2\overrightarrow{AC}$ ， $\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$ ，求直线AQ的方程．

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_n$ 和 _{$b_n$}（单位：辆），其中 $a_n=\{\begin{array}{c}5n^4+15{，}_{}1\le n\le 3\\ -10n+470{，}_{}n\ge 4\end{array}$ ， $b_n=n+5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_n=-4{\left(n-46\right)}^2+8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

已知函数 $f\left(x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\frac{1}{2},x\in \left(0,\mathrm{\pi }\right)$ ．

（1）求 $f\left(x\right)$ 的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 $a=\sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若 $f\left(A\right)=0$ ，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A{A}_1$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C ₁： $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ 和C ₂： $x^2+\frac{y^2}{9}=1$ ．P为C ₁上的动点，Q为C ₂上的动点，w是 $\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}$ 的最大值．记 $\Omega =\left\{\left(P,Q\right)\overline{)P}在C_1上,Q在C_2上,且\overrightarrow{OP}·\overrightarrow{OQ}=w\right\}$ ，则 $\Omega$ 中元素个数为（ ）

A．

2个

B．

4个

C．

8个

D．

无穷个

已知a、b、c为实常数，数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项 ^{$x_n=a{n}^2+bn+c,n\in N^{*}$}，则"存在k∈N ^*，使得x _100+k、x _200+k、x _300+k成等差数列"的一个必要条件是（ ）

A．

$a\ge 0$

B．

$b\le 0$

C．

$c=0$

D．

$a-2b+c=0$

在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中， $a_n={\left(-\frac{1}{2}\right)}^n,n\in N^{*}$ ，则 $\underset{n\to \infty }{\mathit{lim}}{a}_n$ （ ）

A．

等于 $-\frac{1}{2}$

B．

等于0

C．

等于 $\frac{1}{2}$

D．

不存在

关于x、y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{c}x+5y=0\\ 2x+3y=4\end{array}$ 的系数行列式D为（ ）

A．

$\left|\begin{array}{cc}0& 5\\ 4& 3\end{array}\right|$

B．

$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 4\end{array}\right|$

C．

$\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 3\end{array}\right|$

D．

$\left|\begin{array}{cc}6& 0\\ 5& 4\end{array}\right|$

如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P ₁、P ₂、P ₃、P ₄以及四个标记为"▲"的点在正方形的顶点处，设集合 $\Omega =\left\{P_1,P_2,P_3,P_4\right\}$ ，点P∈Ω，过P作直线l _P ， 使得不在l _P上的"▲"的点分布在l _P的两侧．用D ₁（l _P）和D ₂（l _P）分别表示l _P一侧和另一侧的"▲"的点到l _P的距离之和．若过P的直线l _P中有且只有一条满足D ₁（l _P）=D ₂（l _P），则Ω中所有这样的P为________．

设 $a_1$ 、 $a_2\in R$ ，且 $\frac{1}{2+\mathit{sin}{\alpha }_1}+\frac{1}{2+sin\left(2{\alpha }_2\right)}=2$ ，则 $\left|10\mathrm{\pi }-{\mathrm{a}}_1-{\mathrm{a}}_2\right|$ 的最小值等于________．

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ ，其中 $a_n=n^2,n\in N^{*}$ ， $\left\{b_n\right\}$ 的项是互不相等的正整数，若对于任意 $n\in N^{*}$ ， $\left\{b_n\right\}$ 的第a _n项等于 $\left\{a_n\right\}$ 的第 $b_n$ 项，则 $\frac{\mathit{lg}\left(b_1{b}_4{b}_9{b}_{16}\right)}{\mathit{lg}\left(b_1{b}_2{b}_3{b}_4\right)}=$ ________．

已知四个函数：① $y=-x$ ，② $y=-\frac{1}{x}$ ，③ $y=x^3$， ④ ${y=x}^{\frac{1}{2}}$ ，从中任选2个，则事件"所选2个函数的图象有且仅有一个公共点"的概率为________．