高中数学解答题

本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,,其中是与气象有关的参数,且．若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作．
（1）令,,求的取值范围；
（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标．

本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．
某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程.

（本小题满分16分）已知函数，，设.
（1）若在处取得极值，且，求函数h（x）的单调区间；
（2）若时函数h（x）有两个不同的零点x₁,x₂.
①求b的取值范围；②求证：.

（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为．
（1）求集合中所有元素之和；
（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值．

（本小题满分14分）已知函数，且对任意，都有.
（1）求，的关系式；
（2）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围并证明；
（3）在（2）的条件下，判断零点的个数，并说明理由．

（本小题满分14分）已知平面上的动点与点连线的斜率为，线段的中点与原点连线的斜率为， ()，动点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：
①以曲线的弦为直径；
②过点；
③直径．求的取值范围．

（本小题满分14分）在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．
（1）求曲线的方程；
（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值．

（本小题满分15分）已知，是平面上的两个定点，动点满足
．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与（Ⅰ）中的轨迹交于，两
点，为坐标原点，设为的中点，求长度的取值范围．

已知曲线：，将曲线每一点的横坐标缩短为倍，纵坐标缩短为原来的倍，得曲线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．

（本小题满分14分）已知函数，（为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且．
（1）求的值；
（2）对任意，证明：；
（3）若对所有的≥0，都有成立，求实数的取值范围．

（本小题满分13分）已知椭圆（）的右焦点是抛物线的焦点，过点垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长度为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．请问：在轴
上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（本小题满分13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，且在定义域上为单调递增函数，求的取值范围；
（3）若，在上存在一点，使得成立，求的取值范围．

（本小题满分14分）如图，已知椭圆：的离心率为， 、、、是其四个顶点，且四边形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆交于、两点，
（ⅰ）若直线过点，则是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？求直线的方程；如果存在求出直线的方程；如果不存在，是说明理由．
（ⅱ）若，且坐标原点在以为直径的圆外，求该直线在轴上的截距的取值范围．

（本小题满分12分）已知数列的前项和，正项等比数列满足：，且．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，其前项和为，证明：．