高中数学解答题

【原创】（本小题满分14分）设是单位圆上三点，为锐角．
（1）若求
（2）若求三角形面积的最大值．

【原创】在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为左焦点为右焦点为.
（1）若椭圆上存在点，使得,求椭圆离心率的取值范围；
（2）若点满足，求证：以为圆心，以为半径的圆与椭圆右准线相切.

【原创】设数列满足：，
求证：当时，．

（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物 的准线方程为 过点M（0，-2）作抛物线的切线MA，切点为A（异于点O）．直线过点M与抛物线交于两点B，C，与直线OA交于点N．

（1）求抛物线的方程;
（2）试问： 的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。

（本小题满分14分）已知函数，其中，．
（1）当，时，求函数的最小值；
（2）当，且为常数时，若函数对任意的，总有
成立，试用表示出的取值范围．

（本小题满分14分）已知椭圆（）的离心率为，右焦点到直线
的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点，斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，为椭圆的右顶点，
直线，分别交直线于点，，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：
为定值．

（本小题满分14分）已知椭圆（）的右焦点，点
在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆交于，两点，过原点作直线的垂线，垂足为，如果的
面积为（为实数），求的值．

（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右
顶点的距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线（），使得
成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

（本小题满分14分）已知椭圆过点，且长轴长等于4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是椭圆C的两个焦点，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求的值．

（本小题满分14分）已知函数，．
（Ⅰ）时，证明：；
（Ⅱ），若，求a的取值范围．

（本小题满分14分）如图，四棱锥中，，底面为梯形，，，且，.

（1）求证：;
（2）求二面角的余弦值.

（本小题满分14分）已知各项不为零的数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.

（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:，设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，．

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；
（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；
（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

【改编】（本小题满分13分）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围．

【改编】（本小题满分13分）已知F₁、F₂分别为椭圆C：(a>b>0)的左、右焦点， 且离心率为，点在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线与的倾斜角互补，且直线是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．