高中数学解答题

（本小题12分）
在某次高三质检考试后，抽取了九位同学的数学成绩进行统计，下表是九位同学的选择题和填空题的得分情况：

选择题	40	55	50	45	50	40	45	60	40
填空题	12	16		12	16	12	8	12	8

 
（Ⅰ）若这九位同学填空题得分的平均分为，试求表中的值及他们填空题得分的标准差；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，记这九位同学的选择题得分组成的集合为，填空题得分组成的集合为．若同学甲的解答题的得分是，现分别从集合、中各任取一个值当作其选择题和填空题的得分，求甲的数学成绩高于分的概率

（本小题12分）
已知数列满足，，等比数列的首项为2，公比为。
（Ⅰ）若，问等于数列中的第几项？
（Ⅱ）数列和的前项和分别记为和，的最大值为，当时，试比较与的大小

（本小题12分）
已知中，角、、的对边分别为、、，
角不是最大角，，外接圆的圆心为，半径为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的周长。

本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知向量=，变换T的矩阵为A=，平面上的点P（1，1）在变换T
作用下得到点P′（3，3），求A⁴.
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
直线与圆（>0）相交于A、B两点，设
P（－1，0），且|PA|:|PB|=1:2，求实数的值
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥²+²恒成立，试求2+的最大值。

（本小题满分14分）已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围；
（Ⅲ）设=（）++（6-+2（），，若
=0有两个零点，且，试探究值的符号

（本小题满分13分）已知、，椭圆C的方程为，、分别为椭圆C的两个焦点，设为椭圆C上一点，存在以为圆心的与外切、与内切
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆C相交于A、B两点，与轴相交于点D，若
求的值；
（Ⅲ）已知真命题：“如果点T（）在椭圆上，那么过点T
的椭圆的切线方程为=1.”利用上述结论，解答下面问题：
已知点Q是直线上的动点，过点Q作椭圆C的两条切线QM、QN，
M、N为切点，问直线MN是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由。

（本小题满分13分）如图，由不大于n（n∈）的正有理数排成的数表，质点按
……顺序跳动，
所经过的有理数依次排列构成数列。
（Ⅰ）质点从出发，通过抛掷骰子来决定质点的跳动步数，骰子的点数为奇数时，质点往前跳一步（从到达）；骰子的点数为偶数时，质点往前跳二步（从到达）.
①抛掷骰子二次，质点到达的有理数记为ξ，求Eξ；②求质点恰好到达的概率。
（Ⅱ）试给出的值（不必写出求解过程）。

（本小题满分13分）如图，在正方体的上底面上叠放三棱柱
，该几何体的正视图与左视图如右图所示.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下：
① 证明平面；
②求直线与平面所成角的正弦值

（本小题满分13分）已知向量，，
定义函数=。
（Ⅰ）求的最小正周期；在所给的坐标系中作出函数，∈的图象
（不要求写出作图过程）;
（Ⅱ）若=2，且14≤≤18，求的值

（本小题满分12分）已知函数，其中为自然对数的底数，。
（1）设，求函数的最值；
（2）若对于任意的，都有成立，
求的取值范围。

（满分12分）直线l 与抛物线y² = 4x 交于两点A、B，O 为原点，且= －4．
(I)       求证：直线l 恒过一定点；
(II)     若 4≤| AB | ≤，求直线l 的斜率k 的取值范围；
(Ⅲ) 设抛物线的焦点为F，∠AFB = θ，试问θ 角能否等于120°？若能，求出相应的直线l 的方程；若不能，请说明理由．

（满分12分）设f (x) 是定义在 [－1,1] 上的偶函数，f (x) 与g(x) 的图象关于x =" 1" 对称，且当x Î [2,3] 时，g(x) = a (x－2)－2 (x－2) ³（a 为常数）.
(Ⅰ)求f (x) 的解析式；
(Ⅱ)若f (x) 在 [0,1] 上是增函数，求实数a 的取值范围；
(Ⅲ)若a Î (－6,6)，问能否使f (x) 的最大值为 4？请说明理由.

（满分12分）某专卖店销售一新款服装，日销售量（单位为件）f (n) 与时间n（1≤n≤30、nÎ N*）的函数关系如下图所示，其中函数f (n) 图象中的点位于斜率为 5 和－3 的两条直线上，两直线交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大.
(Ⅰ)求f (n) 的表达式，及前m天的销售总数；
(Ⅱ)按以往经验，当该专卖店销售某款服装的总数超过 400 件时，市面上会流行该款服装，而日销售量连续下降并低于 30 件时，该款服装将不再流行.试预测本款服装在市面上流行的天数是否会超过 10 天？请说明理由.
 

（满分12分）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票 4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，和乙从第二小组的10张票中任抽1张．
（Ⅰ）两人都抽到足球票的概率是多少？
（Ⅱ）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？

（满分12分）正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ 的棱长为 2，且AC 与BD 交于点O，E 为棱DD₁ 中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示.
(Ⅰ)求证：B₁O⊥平面EAC；
(Ⅱ)若点 F 在 EA 上且 B₁F⊥AE，试求点 F 的坐标；
(Ⅲ)求二面角B₁－EA－C 的正弦值.