德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则关于函数
有如下四个结论：
①
；
②函数是偶函数；
③任取一个不为零的有理数
，
对任意的
恒成立；
④存在三个点
，
，
，使得
为等边三角形．
其中正确结论的个数是（）
A． |
B． |
C． |
D． |
（本小题满分12分）已知定义域为
的函数
同时满足以下三个条件：
①对任意的
，总有
；
②
；
③若
且
，则有
成立，则称为“友谊函数”．
（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求
的值；
（Ⅱ）函数
在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（Ⅲ）已知为“友谊函数”，且 
，求证:
．
（本小题满分12分）
若函数
满足下列两个性质：
①在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在的定义域内存在某个区间使得在
上的值域是
．则我们称为“内含函数”．
（1）判断函数
是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数
是“内含函数”，求实数t的取值范围．
设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”。若
上是“关联函数”，则m的取值范围为（）
A． |
B． |
C． |
D． |
能够把椭圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（）
A． |
B． |
C． |
D． |
若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足：
和
恒成立，则称此直线
为和的“隔离直线”，已知函数
，有下列命题：
①
在
内单调递增；
②
和
之间存在“隔离直线”，且的最小值为
；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是
；
④和
之间存在唯一的“隔离直线”
．
其中真命题的个数有（）
A． 个 |
B． 个 |
C． 个 |
D． 个 |
对于函数
和
，设
，
，若存在
，使得
，则称与互为“零点相邻函数”．若函数
与
互为“零点相邻函数”，则实数
的取值范围是（）
A． |
B． |
C． |
D． |
如果对定义在R上的函数
，对任意
，都有
则称函数为“H函数”．给出下列函数：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中函数式“H函数”的个数是（）
| A．4 | B．3 | C．2 | D．1 |
（本小题满分12分）设函数
在
上的导函数为
，在上的导函数为
，若在上，
恒成立，则称函数
在上为“凸函数”．已知
．
（1）若为区间
上的“凸函数”，试确定实数
的值；
（2）若当实数满足
时，函数在上总为“凸函数”，求
的最大值．
定义在
上的函数
，如果对于任意给定的等比数列
，
仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”． 现有定义在上的如下函数：
①
②
③
④
．
则其中是“保等比数列函数”的的序号为
| A．①② | B．③④ | C．①③ | D．②④ |
上的函数
是奇函数，且满足
，
，数列
满足
，且
（
为
项和），则
（）
上的函数 
；当
若
；则
的大小关系为（）．
（）
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，若函数
的“新驻点”分别为
，则
，如果存在实数
使得
，那么称
为
的生成函数．
；
；
，生成函数
在
上有解，求实数
的取值范围.
粤公网安备 44130202000953号