如果函数
的定义域为R，对于定义域内的任意
，存在实数
使得
成立，则称此函数具有“
性质”。
(1)判断函数
是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有的值；若不具有“性质”，说明理由；
(2)已知具有“
性质”，且当
时
，求在
上有最大值；
(3)设函数
具有“
性质”，且当
时，
.若
与
交点个数为2013，求
的值.
我们称满足下面条件的函数
为“
函数”：存在一条与函数的图象有两个不同交点（设为
）的直线，在
处的切线与此直线平行.下列函数：
①
②
③
④
,
其中为“函数”的是（将所有你认为正确的序号填在横线上）
对定义在
上，并且同时满足以下两个条件的函数
称为
函数：
（i）对任意的
，恒有
；
（ii）当
，
，
时，总有
成立．
则下列四个函数中不是函数的个数是（）
①
②
③ 
④ 
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
我们称满足下面条件的函数
为“
函数”：存在一条与函数的图象有两个不同交点（设为
）的直线，在
处的切线与此直线平行.下列函数：
①
②
③
④
,
其中为“函数”的是（将所有你认为正确的序号填在横线上）
【改编题】已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[﹣1．3]=﹣2，[0．8]=0，[3．4]=3．定义{x}=x﹣[x]，求{
}+{
}+{
}+…+{
}=
如果对定义在R上的函数
，对任意
，都有
则称函数为“H函数”．给出下列函数：
①
；
②
；
③
；
④
．
其中函数式“H函数”的个数是（）
| A．4 | B．3 | C．2 | D．1 |
对于函数
和
，设
，
，若存在
，使得
，则称与互为“零点相邻函数”．若函数
与
互为“零点相邻函数”，则实数
的取值范围是（）
A． |
B． |
C． |
D． |
能够把椭圆
:
的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（）
A． |
B． |
C． |
D． |
（本小题满分12分）设函数
在
上的导函数为
，在上的导函数为
，若在上，
恒成立，则称函数
在上为“凸函数”．已知
．
（1）若为区间
上的“凸函数”，试确定实数
的值；
（2）若当实数满足
时，函数在上总为“凸函数”，求
的最大值．
若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足：
和
恒成立，则称此直线
为和的“隔离直线”，已知函数
，有下列命题：
①
在
内单调递增；
②
和
之间存在“隔离直线”，且的最小值为
；
③和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是
；
④和
之间存在唯一的“隔离直线”
．
其中真命题的个数有（）
A． 个 |
B． 个 |
C． 个 |
D． 个 |
（本小题满分12分）已知定义域为
的函数
同时满足以下三个条件：
①对任意的
，总有
；
②
；
③若
且
，则有
成立，则称为“友谊函数”．
（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求
的值；
（Ⅱ）函数
在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（Ⅲ）已知为“友谊函数”，且 
，求证:
．
（本小题满分12分）
若函数
满足下列两个性质：
①在其定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在的定义域内存在某个区间使得在
上的值域是
．则我们称为“内含函数”．
（1）判断函数
是否为“内含函数”？若是，求出a、b，若不是，说明理由；
（2）若函数
是“内含函数”，求实数t的取值范围．
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，若函数
的“新驻点”分别为
，则
（）
被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则关于函数
有如下四个结论：
；
，
对任意的
恒成立；
，
，
，使得
为等边三角形．
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