高中数学函数迭代试题

对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．给出下列 4个函数：                              
①，②，③，④．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 

A．①②③

B．②③

C．①③

D．②③④

已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，数列满足，且（为的前项和），则（  ）

A．

B．

C．

D．

定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度．用表示不超过的最大整数，记，其中．设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有  （   ）

A．

B．

C．

D．

若函数满足：在定义域D内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（  ）．

A．①③

B．②④

C．①②

D．③④

函数的定义域为，若，且时总有，则称为单函数，
则：①函数是单函数；②函数是单函数；③若为单函数，，
且，则；④若函数在定义域内某个区间上具有单调性，则一定
是单函数；以上命题正确的是（ ）

A．①④

B．②③

C．①③

D．①③④

（本小题满分12分）设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”．已知．
（1）若为区间上的“凸函数”，试确定实数的值；
（2）若当实数满足时，函数在上总为“凸函数”，求的最大值．

定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”． 现有定义在上的如下函数：
①     ②      ③    ④．
则其中是“保等比数列函数”的的序号为

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为（   ）

A．

B．

C．

D．

对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（  ）

A．

B．

C．

D．

(本小题满分16分)对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．
（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；
第一组：；
第二组：；
（2）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围.

如果对定义在R上的函数，对任意，都有则称函数为“H函数”．给出下列函数：
①；
②；
③；
④．
其中函数式“H函数”的个数是（ ）

A．4

B．3

C．2

D．1

（本小题满分12分）已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；
②；
③若且，则有成立，则称为“友谊函数”．
（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求的值；
（Ⅱ）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（Ⅲ）已知为“友谊函数”，且 ，求证:．

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数有如下四个结论：
①；
②函数是偶函数；
③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；
④存在三个点，，，使得为等边三角形．
其中正确结论的个数是（  ）

A．

B．

C．

D．

能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ）

A．

B．

C．

D．

（   ）

A．

B．

C．

D．