高中数学空间向量的应用解答题

已知四棱锥的三视图和直观图如下图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点．

(1)求证：；
(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， ，直线B₁C与平面ABC成45°角。

(1)求证：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；
(2)求二面角A—B₁C—B的余弦值.

（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB＝BC＝1，BB₁＝2，∠BCC₁＝60°。

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）设＝λ（0≤A≤1），且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

（本小题满分14分）已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点.

（Ⅰ）求证：底面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若是上的一点，且，求的值．

如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.

（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积；
（3）设点在线段上，且，试在线段上确定一点，使得平面.

（本小题共14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（Ⅰ）若点M是棱PC的中点，求证：PA // 平面BMQ；
（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值 ．

如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；
（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．

已知是矩形，分别是线段的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）若在棱上存在一点，使得平面，求的值．

如图在正三棱锥P-ABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，

(1)求证：BC⊥PA
(2)求点C到平面PAB的距离

已知正四棱柱中，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求钝二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由．

矩形与矩形的公共边为，且平面平面，如图所示，，.

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若是棱的中点，在线段上是否存在一点，使得平面？证明你的结论．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上任一点．

（Ⅰ）求证：无论E点取在何处恒有；
（Ⅱ）设，当平面EDC平面SBC时，求的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角的大小．

如图，已知矩形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，，为线段的中点．

（Ⅰ） 证明：；
（Ⅱ） 求与平面所成的角的余弦值．

如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上且，，，是的中点，四面体的体积为.

（1）求过点P，C，B，G四点的球的表面积；
（2）求直线到平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由.

如图，长方体中，为中点.

（1）求证：；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由；
（3）若二面角的大小为，求的长.