高中数学空间向量的应用试题

如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）若，试求二面角的余弦值．

如图，在三棱锥中，底面,,,分别是的中点，在上，且．

（1）求证：平面;
（2）在线段上上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

如图所示，四棱锥的底面是直角梯形， ，，，底面，过的平面交于，交于（与不重合）．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）如果，求此时的值．

如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．

如图，在四棱锥中，是正方形，平面，，分别是的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）在线段上确定一点，使平面，并给出证明．

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是的菱形，且与底面ABC垂直，AC=CB=2，且AC⊥CB．

（Ⅰ）求证：AC₁⊥面A₁BC；
（Ⅱ）求直线A₁B与面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B—A₁A—C的正切值．

已知正四棱柱中，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求钝二面角的余弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，
请说明理由．

如图，在正方体中，分别是中点．

求证：（1）∥平面；
（2）平面．

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：平面CBE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角C—BE—F的余弦值．

如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，Q为AD的中点，.

（1）求证：平面PQB；
（2）点M在线段PC上，，试确定t的值，使平面MQB.

如图，在长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁－EC－D的大小为．

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：

（1）底面；
（2）平面．

如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A₁C₁与A₁B的中点．

（Ⅰ）求证：MN平面BCC₁B₁;
（Ⅱ）求证：平面A₁BC平面A₁ABB₁．

棱柱的所有棱长都为2，，平面⊥平面，．

（1）证明：；
（2）求锐二面角的平面角的余弦值；
（3）在直线上是否存在点，使得∥平面，若存在求出的位置．

（本小题满分12分）如图，正四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长是底面边长为倍，为底面对角线的交点，为侧棱上的点．

（1）求证：；
（2）为的中点，若平面，求证：平面．