高中数学空间向量的应用试题

如图,正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹是     （   ）

A．线段

B．线段

C．中点与中点连成的线段

D．中点与中点连成的线段

在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，∥，，．在梯形中，∥，且，⊥平面．

（1）求证：；
（2）若二面角为，求的长．

给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：
①若，，点，则与不共面；
②若、是异面直线，，，且，，则；
③若，则；
④若，，，，，则.
其中为假命题的是（   ）

A．①

B．②

C．④

D．③

如图所示，矩形中，平面，，为上的点，且平面

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积．

（本小题满分14分）如图，在四面体A−BCD中，AD^平面BCD，BC^CD，AD=2，BD=2．M是AD的中点.

（1）证明：平面ABC平面ADC；
（2）若ÐBDC=60°，求二面角C−BM−D的大小．

（本小题共14分）如图，四边形与均为菱形， ，且．
    
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：∥平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁=2，M，N分别为AC，B₁C₁的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）线段CC₁上是否存在点Q，使A₁B⊥平面MNQ？说明理由．

如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，．已知．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

如图（1），在三角形ABC中，，，点O、M、N分别为线段的中点，将ABO和MNC分别沿BO，MN折起，使平面ABO与平面CMN都与底面OMNB垂直，如图（2）所示.

（1）求证：平面CMN；
（2）求点M到平面CAN的距离.

如图，在三棱锥中，底面，，且，点是的中点，且交于点．

（1）求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积．

在等腰梯形中，，，，是的中点，将梯形绕旋转90°，得到梯形（如图）．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．

如图，在长方体中，，，点是线段中点．

（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A₁点，且A₁在平面BCD上的射影O恰好在CD上．

（1）求证：BC⊥A₁D．
（2）求证：平面A₁BC⊥平面A₁BD．
（3）求三棱锥A₁-BCD的体积．

如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在原正方体中，

①平面；   
②平面；
③CN与BM成角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是____  ____。 （写出所有正确命题的序号）

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD^平面ABCD，AD＝CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：AC^平面PBD．