初中数学旋转的性质试题

定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．

理解：

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，则 $\angle A$ 与 $\angle C$ 的度数之和为 　     　；

证明：

（2）如图1， $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $\odot O$ 上， $\mathit{AM}$ ， $\mathit{CN}$ 相交于点 $D$ ．

求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形；

探究：

（3）如图2，在对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$ ， $\angle \mathit{ABC}=60°$ ，探究线段 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{CD}$ 和 $\mathit{BD}$ 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．

在 $8\times 5$ 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 $\mathit{OABC}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(8,4)$ ， $C(5,0)$ ．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：

（1）将线段 $\mathit{CB}$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90°$ ，画出对应线段 $\mathit{CD}$ ；

（2）在线段 $\mathit{AB}$ 上画点 $E$ ，使 $\angle \mathit{BCE}=45°$ （保留画图过程的痕迹）；

（3）连接 $\mathit{AC}$ ，画点 $E$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点 $F$ ，并简要说明画法．

如图，将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60°$ 得到 $\mathit{\Delta DBE}$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $\mathit{AB}$ 的延长线上，连接 $\mathit{AD}$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{AD}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴上， $B(-2,1)$ ，将 $\mathit{\Delta OAB}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转，点 $B$ 落在 $y$ 轴上的点 $D$ 处，得到 $\mathit{\Delta OED}$ ， $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$ 的图象经过点 $G$ ，则 $k$ 的值为 　　．

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $C(6,0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x=2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $\mathit{MP}$ ，以点 $M$ 为中心，将 $\mathit{\Delta MPC}$ 逆时针旋转 $90°$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $\mathit{EF}$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $\mathit{\Delta MPC}$ 在（2）的旋转变换下，若 $\mathit{PC}=\sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $\mathit{EA}=\mathit{ED}$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $\mathit{CM}$ 的长．

如图①，在中，，，点、分别在、边上，，连接、、，点、、分别是、、的中点，连接、、．

（1）与的数量关系是　    　．

（2）将绕点逆时针旋转到图②和图③的位置，判断与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若，则　　．

如图，四边形中，对角线与交于点，且．

（1）求证：四边形是正方形；

（2）若是边上一点与，不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点分别作及延长线的垂线，垂足分别为，．设四边形的面积为，以，为邻边的矩形的面积为，且．当时，求的长．

如图，在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是　 　．

如图，已知 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的半径为5，所对的弦 $\mathit{AB}$ 长为8，点 $P$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，将 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90°$ 后得到 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}\text{'}}$ ，则在该旋转过程中，点 $P$ 的运动路径长是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{5}}{2}\pi$

B．

$\sqrt{5}\pi$

C．

$2\sqrt{5}\pi$

D．

$2\pi$

如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．若，则的长为　　．

如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到．

（1）求证：．

（2）若，，求正方形的边长．

如图， $\odot O$ 为等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $\mathit{DA}$ ， $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\angle \mathit{ADB}$ 的平分线；

（2）四边形 $\mathit{ADBC}$ 的面积 $S$ 是线段 $\mathit{DC}$ 的长 $x$ 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{CB}$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置， $\mathit{\Delta DMN}$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化，求所有 $t$ 值中的最大值．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ， $A{B}^{\text{'}}$ ， $A{C}^{\text{'}}$ 分别交对角线 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ， $F$ ，若 $\mathit{AE}=4$ ，则 $\mathit{EF}·\mathit{ED}$ 的值为 　 　．

问题背景：如图1，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，可推出结论：．

问题解决：如图2，在中，，，．点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是　　．