如图，四边形$\mathit{ABCD}$中，对角线$\mathit{AC}$与$\mathit{BD}$交于点$O$，且$\mathit{OA}=\mathit{OB}=\mathit{OC}=\mathit{OD}=\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{AB}$．

（1）求证：四边形$\mathit{ABCD}$是正方形；

（2）若$H$是边$\mathit{AB}$上一点$(H$与$A$，$B$不重合），连接$\mathit{DH}$，将线段$\mathit{DH}$绕点$H$顺时针旋转$90°$，得到线段$\mathit{HE}$，过点$E$分别作$\mathit{BC}$及$\mathit{AB}$延长线的垂线，垂足分别为$F$，$G$．设四边形$\mathit{BGEF}$的面积为$s_1$，以$\mathit{HB}$，$\mathit{BC}$为邻边的矩形的面积为$s_2$，且$s_1=s_2$．当$\mathit{AB}=2$时，求$\mathit{AH}$的长．