初中数学四边形综合题试题

如图，在边长为2的正方形 $\mathit{EFGH}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{GH}$ 的中点，一个三角形 $\mathit{ABC}$ 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 $A$ 恒在直线 $\mathit{MN}$ 上，当点 $A$ 运动到线段 $\mathit{MN}$ 的中点时，点 $E$ ， $F$ 恰与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 两边的中点重合，设点 $A$ 到 $\mathit{EF}$ 的距离为 $x$ ，三角形 $\mathit{ABC}$ 与正方形 $\mathit{EFGH}$ 的公共部分的面积为 $y$ ．则当 $y=\frac{5}{2}$ 时， $x$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{7}{4}$ 或 $2+\frac{\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{10}}{2}$ 或 $2-\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$2\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

D．

$\frac{7}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

（1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．

①求证：；

②推断：的值为　　；

（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

操作体验：如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为直线上一动点（不与、重合），过点分别作直线、的垂线，垂足分别为点和，以、为邻边构造平行四边形．

（1）如图1，求证：；

（2）特例感知：如图2，若，，当点在线段上运动时，求平行四边形的周长；

（3）类比探究：若，．

①如图3，当点在线段的延长线上运动时，试用含、的式子表示与之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点在线段的延长线上运动时，请直接用含、的式子表示与之间的数量关系．（不要求写证明过程）

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，．若不改变矩形的形状和大小，当矩形顶点在轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点始终在轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当时，求点的坐标；

（2）设的中点为，连接、，当四边形的面积为时，求的长；

（3）当点移动到某一位置时，点到点的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时的值．

如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．

（1）求的大小；

（2）问题探究：动点在运动的过程中，

①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．

②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．

如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形．

（1）当为何值时，为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（3）求的长；

（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．

如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

如图，在正方形中，，为对角线上一动点，连接，，过点作，交直线于点．点从点出发，沿着方向以每秒的速度运动，当点与点重合时，运动停止．设的面积为，点的运动时间为秒．

（1）求证：；

（2）求与之间关系的函数表达式，并写出自变量的取值范围；

（3）求面积的最大值．

已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分 ．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作，交于点，过点作，分别交，于点，．连接，．设运动时间为，解答下列问题：

（1）当为何值时，点在的平分线上？

（2）设四边形的面积为，求与的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上的点，且 $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{AF}$ 分别交 $\mathit{BD}$ 于 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{EN}$ 、 $\mathit{EF}$ ，有以下结论：

① $\mathit{AN}=\mathit{EN}$

②当 $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ 时， $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{EC}}=2-\sqrt{2}$

③ $\mathit{BE}+\mathit{DF}=\mathit{EF}$

④存在点 $E$ 、 $F$ ，使得 $\mathit{NF}>\mathit{DF}$

其中正确的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ ，点 $F$ 在边 $\mathit{AB}$ 上，且 $\mathit{AF}:\mathit{FB}=1:2$ ， $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$ ，垂足为 $M$ ，且交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{DF}$ 交于点 $N$ ，延长 $\mathit{CB}$ 至 $G$ ，使 $\mathit{BG}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ，连接 $\mathit{GM}$ ．有如下结论：① $\mathit{DE}=\mathit{AF}$ ；② $\mathit{AN}=\frac{\sqrt{2}}{4}\mathit{AB}$ ；③ $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{GMF}$ ；④ $S_{\mathit{\Delta ANF}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{CNFB}}=1:8$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

①③

C．

①②③

D．

②③④

在矩形中，连结，点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为（秒．过点作于点，在矩形的内部作正方形．

（1）如图，当时，

①若点在的内部，连结、，求证：；

②当时，设正方形与的重叠部分面积为，求与的函数关系式；

（2）当，时，若直线将矩形的面积分成两部分，求的值．

如图，矩形硬纸片的顶点在轴的正半轴及原点上滑动，顶点在轴的正半轴及原点上滑动，点为的中点，，．给出下列结论：①点从点出发，到点运动至点为止，点经过的路径长为；②的面积最大值为144；③当最大时，点的坐标为，．其中正确的结论是　　．（填写序号）

如图，在以点为中心的正方形中，，连接，动点从点出发沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点停止．在运动过程中，的外接圆交于点，连接交于点，连接，将沿翻折，得到．

（1）求证：是等腰直角三角形；

（2）当点恰好落在线段上时，求的长；

（3）设点运动的时间为秒，的面积为，求关于时间的关系式．