操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度中等
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操作体验：如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $AD$ 、 $BC$ 上，将矩形 $ABCD$ 沿直线 $EF$ 折叠，使点 $D$ 恰好与点 $B$ 重合，点 $C$ 落在点 $C'$ 处．点 $P$ 为直线 $EF$ 上一动点（不与 $E$ 、 $F$ 重合），过点 $P$ 分别作直线 $BE$ 、 $BF$ 的垂线，垂足分别为点 $M$ 和 $N$ ，以 $PM$ 、 $PN$ 为邻边构造平行四边形 $PMQN$ ．

（1）如图1，求证： $BE = BF$ ；

（2）特例感知：如图2，若 $DE = 5$ ， $CF = 2$ ，当点 $P$ 在线段 $EF$ 上运动时，求平行四边形 $PMQN$ 的周长；

（3）类比探究：若 $DE = a$ ， $CF = b$ ．

①如图3，当点 $P$ 在线段 $EF$ 的延长线上运动时，试用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示 $QM$ 与 $QN$ 之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点 $P$ 在线段 $FE$ 的延长线上运动时，请直接用含 $a$ 、 $b$ 的式子表示 $QM$ 与 $QN$ 之间的数量关系．（不要求写证明过程）

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如图，在梯形中，，，，在上截取，使，过点作于，交于点，连接，交于点，交于点。

（1）求证：
（2）已知，，求的长。

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难度：未知

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