如图，在边长为2的正方形 $\mathit{EFGH}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{EF}$ 与 $\mathit{GH}$ 的中点，一个三角形 $\mathit{ABC}$ 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点 $A$ 恒在直线 $\mathit{MN}$ 上，当点 $A$ 运动到线段 $\mathit{MN}$ 的中点时，点 $E$ ， $F$ 恰与 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 两边的中点重合，设点 $A$ 到 $\mathit{EF}$ 的距离为 $x$ ，三角形 $\mathit{ABC}$ 与正方形 $\mathit{EFGH}$ 的公共部分的面积为 $y$ ．则当 $y=\frac{5}{2}$ 时， $x$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{7}{4}$ 或 $2+\frac{\sqrt{2}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{10}}{2}$ 或 $2-\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

$2\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

D．

$\frac{7}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$