初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图，将边长为6的正三角形纸片 $\mathit{ABC}$按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$（如图①），点 $O$为其交点．

（1）探求 $\mathit{AO}$与 $\mathit{OD}$的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$， $N$分别为 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$上的动点．

①当 $\mathit{PN}+\mathit{PD}$的长度取得最小值时，求 $\mathit{BP}$的长度；

②如图③，若点 $Q$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{BQ}=1$，则 $\mathit{QN}+\mathit{NP}+\mathit{PD}$的最小值 $=$　    　．

操作：“如图1， $P$是平面直角坐标系中一点 $(x$轴上的点除外），过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，点 $C$绕点 $P$逆时针旋转 $60°$得到点 $Q$．”我们将此由点 $P$得到点 $Q$的操作称为点的 $T$变换．

（1）点 $P(a,b)$经过 $T$变换后得到的点 $Q$的坐标为　 　；若点 $M$经过 $T$变换后得到点 $N(6,-\sqrt{3})$，则点 $M$的坐标为　     　．

（2） $A$是函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x$图象上异于原点 $O$的任意一点，经过 $T$变换后得到点 $B$．

①求经过点 $O$，点 $B$的直线的函数表达式；

②如图2，直线 $\mathit{AB}$交 $y$轴于点 $D$，求 $\mathit{\Delta OAB}$的面积与 $\mathit{\Delta OAD}$的面积之比．

在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为 $($　　 $)$

A． $30°$B． $45°$C． $60°$D． $90°$

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=60°$， $\mathit{AD}=8$， $F$是 $\mathit{AB}$的中点．过点 $F$作 $\mathit{FE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$．将 $\mathit{\Delta AEF}$沿点 $A$到点 $B$的方向平移，得到△ $A^{\text{'}}{E}^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$．设 $P$、 $P^{\text{'}}$分别是 $\mathit{EF}$、 $E^{\text{'}}{F}^{\text{'}}$的中点，当点 $A^{\text{'}}$与点 $B$重合时，四边形 $P{P}^{\text{'}}\mathit{CD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $28\sqrt{3}$B． $24\sqrt{3}$C． $32\sqrt{3}$D． $32\sqrt{3}-8$

如图， $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$， $B$为切点，连接 $\mathit{AO}$并延长，交 $\mathit{PB}$的延长线于点 $C$，连接 $\mathit{PO}$，交 $\odot O$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PO}$平分 $\angle \mathit{APC}$；

（2）连接 $\mathit{DB}$，若 $\angle C=30°$，求证： $\mathit{DB}//\mathit{AC}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\mathit{\Delta ACD}$是等边三角形， $E$是 $\mathit{AC}$的中点，连接 $\mathit{BE}$并延长，交 $\mathit{DC}$于点 $F$，求证：

（1） $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta CFE}$；

（2）四边形 $\mathit{ABFD}$是平行四边形．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转得△ $A_1{B}_{1}C$，当 $A_1$落在 $\mathit{AB}$边上时，连接 $B_{1}B$，取 $B{B}_1$的中点 $D$，连接 $A_{1}D$，则 $A_{1}D$的长度是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{7}$B． $2\sqrt{2}$C．3D． $2\sqrt{3}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=10$， $\angle B=60°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BD}=\mathit{BE}=4$，将 $\mathit{\Delta BDE}$沿 $\mathit{DE}$所在直线折叠得到△ $B\text{'}\mathit{DE}$（点 $B\text{'}$在四边形 $\mathit{ADEC}$内），连接 $\mathit{AB}\text{'}$，则 $\mathit{AB}\text{'}$的长为　     　．

已知：如图， $\mathit{AM}$为 $\odot O$的切线， $A$为切点，过 $\odot O$上一点 $B$作 $\mathit{BD}\perp \mathit{AM}$于点 $D$， $\mathit{BD}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{OC}$平分 $\angle \mathit{AOB}$．

（1）求 $\angle \mathit{AOB}$的度数；

（2）当 $\odot O$的半径为 $2\mathit{cm}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形， $\angle \mathit{BAD}=120°$，点 $E$在射线 $\mathit{AC}$上（不包括点 $A$和点 $C)$，过点 $E$的直线 $\mathit{GH}$交直线 $\mathit{AD}$于点 $G$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，且 $\mathit{GH}//\mathit{DC}$，点 $F$在 $\mathit{BC}$的延长线上， $\mathit{CF}=\mathit{AG}$，连接 $\mathit{ED}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时，

①判断 $\mathit{\Delta AEG}$的形状，并说明理由．

②求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上时， $\mathit{\Delta DEF}$是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$与 $\mathit{\Delta CDE}$是等边三角形，连接 $\mathit{AD}$，取 $\mathit{AD}$的中点 $P$，连接 $\mathit{BP}$并延长至点 $M$，使 $\mathit{PM}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{EM}$， $\mathit{AE}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转．

（1）如图1，当点 $D$在 $\mathit{BC}$上，点 $E$在 $\mathit{AC}$上时，则 $\mathit{\Delta AEM}$的形状为　　；

（2）将 $\mathit{\Delta CDE}$绕点 $C$顺时针旋转至图2的位置，请判断 $\mathit{\Delta AEM}$的形状，并说明理由；

（3）若 $\mathit{CD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$，将 $\mathit{\Delta CDE}$由图1位置绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <360°)$，当 $\mathit{ME}=\sqrt{3}\mathit{CD}$时，请直接写出 $\alpha$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，与 $\mathit{AC}$相交于点 $F$， $\angle B=\angle \mathit{BAE}=30°$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$，求 $\odot O$的半径 $r$；

（3）在（1）的条件下，判断以 $A$、 $O$、 $E$、 $F$为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．

在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$中， $\mathit{BA}=\mathit{BC}$， $\mathit{DA}=\mathit{DE}$．且 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADE}=\alpha$，点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部，连接 $\mathit{EC}$， $\mathit{EB}$和 $\mathit{BD}$，并且 $\angle \mathit{ACE}+\angle \mathit{ABE}=90°$．

（1）如图①，当 $\alpha =60°$时，线段 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的数量关系为　　，线段 $\mathit{EA}$， $\mathit{EB}$， $\mathit{EC}$的数量关系为　　；

（2）如图②，当 $\alpha =90°$时，请写出线段 $\mathit{EA}$， $\mathit{EB}$， $\mathit{EC}$的数量关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，当点 $E$在线段 $\mathit{CD}$上时，若 $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$，请直接写出 $\mathit{\Delta BDE}$的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$， $\angle \mathit{FAC}=\frac{1}{2}\angle \mathit{ABC}$，且 $\angle \mathit{FAC}$在 $\mathit{AC}$下方．点 $P$， $Q$分别是射线 $\mathit{BD}$，射线 $\mathit{AF}$上的动点，且点 $P$不与点 $B$重合，点 $Q$不与点 $A$重合，连接 $\mathit{CQ}$，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{CQ}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{BP}=\mathit{AQ}$．

①如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$上运动时，请直接写出线段 $\mathit{DE}$和线段 $\mathit{AQ}$的数量关系和位置关系；

②如图2，当点 $P$运动到线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=2\alpha \ne 60°$，请直接写出当线段 $\mathit{BP}$和线段 $\mathit{AQ}$满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含 $\alpha$的三角函数表示）．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，把边 $\mathit{BC}$绕点 $B$逆时针旋转 $30°$得到线段 $\mathit{BP}$，连接 $\mathit{AP}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $E$，连接 $\mathit{PC}$，则三角形 $\mathit{PCE}$的面积为　　．