初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图1，已知 $\odot O$是 $\mathit{\Delta ADB}$的外接圆， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DC}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{BC}$；

（2）如图2，在图1的基础上做 $\odot O$的直径 $\mathit{CF}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{AF}$，过点 $A$做 $\odot O$的切线 $\mathit{AH}$，若 $\mathit{AH}//\mathit{BC}$，求 $\angle \mathit{ACF}$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积为 $6\sqrt{3}$， $\mathit{\Delta ABD}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积比为 $2:9$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中，将 $\mathit{\Delta ADC}$ 沿 $\mathit{AC}$ 折叠后，点 $D$ 恰好落在 $\mathit{DC}$ 的延长线上的点 $E$ 处．若 $\angle B=60°$ ， $\mathit{AB}=3$ ，则 $\mathit{\Delta ADE}$ 的周长为 $($ 　　 $)$

A．

12

B．

15

C．

18

D．

21

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ，四边形 $\mathit{EBOC}$ 是平行四边形， $\mathit{EB}$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{CD}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\angle F=30°$ ， $\mathit{EB}=4$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和 $\pi$ ）.

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$，则： $\mathit{AC}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $\mathit{AB}$边上中线 $\mathit{CE}$，由于 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，易得结论：① $\mathit{\Delta ACE}$为等边三角形；② $\mathit{BE}$与 $\mathit{CE}$之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$是边 $\mathit{CB}$上任意一点，连接 $\mathit{AD}$，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，且点 $E$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部，连接 $\mathit{BE}$．试探究线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$为边 $\mathit{CB}$延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $(-\sqrt{3}$， $1)$，点 $B$是 $x$轴正半轴上的一动点，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，当 $C$点在第一象限内，且 $B(2,0)$时，求 $C$点的坐标．

已知： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=2$，弦 $\mathit{DE}=1$，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$相交于点 $C$，弦 $\mathit{DE}$在 $\odot O$上运动且保持长度不变， $\odot O$的切线 $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）如图1，若 $\mathit{DE}//\mathit{AB}$，求证： $\mathit{CF}=\mathit{EF}$；

（2）如图2，当点 $E$运动至与点 $B$重合时，试判断 $\mathit{CF}$与 $\mathit{BF}$是否相等，并说明理由．

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{EF}$上，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BM}$，同时得到线段 $\mathit{BN}$， $\mathit{MN}$．请你观察图1，猜想 $\angle \mathit{MBN}$的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $\mathit{BMN}$剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $\mathit{MN}$与 $\mathit{BM}$的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

已知在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（不与点 $B$， $D$重合），连接 $\mathit{AE}$，以 $\mathit{AE}$为边在 $\mathit{AE}$的右侧作菱形 $\mathit{AEFG}$，且 $\angle \mathit{AEF}=60°$．

（1）如图1，若点 $F$落在线段 $\mathit{BD}$上，请判断：线段 $\mathit{EF}$与线段 $\mathit{DF}$的数量关系是 　  

（2）如图2，若点 $F$不在线段 $\mathit{BD}$上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；

（3）若点 $C$， $E$， $G$三点在同一直线上，其它条件不变，请直接写出线段 $\mathit{BE}$与线段 $\mathit{BD}$的数量关系．

小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现： $\mathit{\Delta ABC}$内总存在一点 $P$与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小．

【特例】如图1，点 $P$为等边 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，将 $\mathit{\Delta ACP}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到 $\mathit{\Delta ADE}$，从而有 $\mathit{DE}=\mathit{PC}$，连接 $\mathit{PD}$得到 $\mathit{PD}=\mathit{PA}$，同时 $\angle \mathit{APB}+\angle \mathit{APD}=120°+60°=180°$， $\angle \mathit{ADP}+\angle \mathit{ADE}=180°$，即 $B$、 $P$、 $D$、 $E$四点共线，故 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}=\mathit{PD}+\mathit{PB}+\mathit{DE}=\mathit{BE}$．在 $\mathit{\Delta ABC}$中，另取一点 $P\text{'}$，易知点 $P\text{'}$与三个顶点连线的夹角不相等，可证明 $B$、 $P\text{'}$、 $D\text{'}$、 $E$四点不共线，所以 $P\text{'}A+P\text{'}B+P\text{'}C>\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$，即点 $P$到三个顶点距离之和最小．

【探究】（1）如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点， $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{BPC}=120°$，证明 $\mathit{PA}+\mathit{PB}+\mathit{PC}$的值最小；

【拓展】（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\angle \mathit{ACB}=30°$，且点 $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内一点，求点 $P$到三个顶点的距离之和的最小值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\tan A=\sqrt{3}$，点 $E$、 $F$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$上任意的点（不与端点重合），且 $\mathit{AE}=\mathit{DF}$，连接 $\mathit{BF}$与 $\mathit{DE}$相交于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $H$，给出如下几个结论：

（1） $\mathit{\Delta AED}\cong \mathit{\Delta DFB}$；

（2） $\mathit{CG}$与 $\mathit{BD}$一定不垂直；

（3） $\angle \mathit{BGE}$的大小为定值；

（4） $S_{\mathit{四边形BCDG}}=\frac{\sqrt{3}}{4}C{G}^2$；

（5）若 $\mathit{AF}=2\mathit{DF}$，则 $\mathit{BF}=7\mathit{GF}$．

其中正确结论的序号为　　．

如图，点 $E$是矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{BC}$上的点， $\mathit{BE}=2\mathit{CE}$，将矩形沿着过点 $E$的直线翻折后，点 $C$、 $D$分别落在边 $\mathit{BC}$下方的点 $C_1$、 $D_1$处，且点 $C_1$、 $D_1$、 $B$在同一条直线上，折痕与边 $\mathit{AD}$交于点 $F$， $D_{1}F$与 $\mathit{BE}$交于点 $G$．若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$，那么 $\mathit{\Delta EFG}$的周长为 $($　　 $)$

A． $4\sqrt{3}$B． $2+2\sqrt{3}$C． $\frac{9\sqrt{3}}{2}$D．6

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle A=30°$，点 $O$为 $\mathit{AB}$中点，点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上的动点（不与点 $B$、点 $C$重合），连接 $\mathit{OC}$、 $\mathit{OP}$，将线段 $\mathit{OP}$绕点 $P$顺时针旋转 $60°$，得到线段 $\mathit{PQ}$，连接 $\mathit{BQ}$．

（1）如图1，当点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出线段 $\mathit{BQ}$与 $\mathit{CP}$的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$在 $\mathit{CB}$延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上时，若 $\angle \mathit{BPO}=15°$， $\mathit{BP}=4$，请求出 $\mathit{BQ}$的长

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=\sqrt{2}$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $A$顺时针方向旋转 $60°$到△ $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}$的位置，连接 $C\text{'}B$，则 $C\text{'}B=$　       　．

（1）已知： $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形，其底边是 $\mathit{BC}$，点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上， $E$是直线 $\mathit{BC}$上一点，且 $\angle \mathit{DEC}=\angle \mathit{DCE}$，若 $\angle A=60°$（如图①）．求证： $\mathit{EB}=\mathit{AD}$；

（2）若将（1）中的“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上”改为“点 $D$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；

（3）若将（1）中的“若 $\angle A=60°$”改为“若 $\angle A=90°$”，其它条件不变，则 $\frac{\mathit{EB}}{\mathit{AD}}$的值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程）

如图， $A$， $P$， $B$， $C$是圆上的四个点， $\angle \mathit{APC}=\angle \mathit{CPB}=60°$， $\mathit{AP}$， $\mathit{CB}$的延长线相交于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形；

（2）若 $\angle \mathit{PAC}=90°$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$，求 $\mathit{PD}$的长．

如图，将等边 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 $120°$得到 $\mathit{\Delta EDC}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．则下列结论：

① $\mathit{AC}=\mathit{AD}$；② $\mathit{BD}\perp \mathit{AC}$；③四边形 $\mathit{ACED}$是菱形．

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．0B．1C．2D．3