初中数学等边三角形的判定与性质试题

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝60°，∠ D＝30°， AB＝ BC．

（1）求∠ A+∠ C的度数；

（2）连接 BD，探究 AD， BD， CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 AB＝1，点 E在四边形 ABCD内部运动，且满足 AE ²＝ BE ²+ CE ²，求点 E运动路径的长度．

如图，分别以Rt△ ABC的直角边 AC及斜边 AB向外作等边△ ACD及等边△ ABE，已知：∠ BAC＝30°， EF⊥ AB，垂足为 F，连接 DF．

（1）试说明 AC＝ EF；

（2）求证：四边形 ADFE是平行四边形．

如图，在一张矩形纸片 ABCD中， AB＝3，点 P， Q分别是 AB和 CD的中点，现将这张纸片折叠，使点 D落到 PQ上的点 G处，折痕为 CH，若 HG的延长线恰好经过点 B，则 AD的长为 　　．

如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边的A′处，若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$，∠EFA＝60°，则四边形A′B′EF的周长是（　　）

A．1+3 $\sqrt{3}$B．3+ $\sqrt{3}$C．4+ $\sqrt{3}$D．5+ $\sqrt{3}$

如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：

①∠ACD＝30°；②S_▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC＝：6；④S_△OCF＝2S_△OEF

成立的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（1）【操作发现】

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将 $\mathit{\Delta ABC}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $90°$ ，点 $B$ 的对应点为点 $B\text{'}$ ，点 $C$ 的对应点为点 $C\text{'}$ ．连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ；

②在①中所画图形中， $\angle \mathit{AB}\text{'}B=$ 　 　 $°$ ．

（2）【问题解决】

如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{BC}=1$ ， $\angle C=90°$ ，延长 $\mathit{CA}$ 到 $D$ ，使 $\mathit{CD}=1$ ，将斜边 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90°$ 到 $\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，求 $\angle \mathit{ADE}$ 的度数．

（3）【拓展延伸】

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $E$ ， $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{ADC}$ ， $\mathit{BE}=\mathit{CE}=1$ ， $\mathit{CD}=3$ ， $\mathit{AD}=\mathit{kAB}(k$ 为常数），求 $\mathit{BD}$ 的长（用含 $k$ 的式子表示）．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $E$ ， $\angle \mathit{BCD}=30°$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$ ，则阴影部分面积 $S_{\mathit{阴影}}=$ 　　．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $B(6,0)$ 和点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $\mathit{OC}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30°$ 得到线段 $\mathit{OD}$ ．过点 $B$ 作射线 $\mathit{BD}$ ，点 $M$ 是射线 $\mathit{BD}$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $\mathit{NM}$ ， $\mathit{NB}$ ．

①直接写出 $\mathit{\Delta MBN}$ 的形状为 　 　；

②设 $\mathit{\Delta MBN}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ODB}$ 的面积为是 $S_2$ ．当 $S_1=\frac{2}{3}{S}_2$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}\perp \mathit{BN}$ ，交 $\mathit{NM}$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $\mathit{BE}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{BF}$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FK}//x$ 轴，交射线 $\mathit{BE}$ 于点 $K$ ， $\angle \mathit{KBF}$ 的角平分线和 $\angle \mathit{KFB}$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $\mathit{BG}=2\sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为 　　．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AC}$ 是对角线， $\angle \mathit{CAB}=90°$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $\mathit{AB}$ 的长为半径作 $\odot A$ ，交 $\mathit{BC}$ 边于点 $E$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{DE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 与 $\odot A$ 相切；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$ ， $\mathit{AB}=4$ ，求阴影部分的面积．

如图， $\odot O$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，半径为 $2\mathit{cm}$ ，若 $\mathit{BC}=2\mathit{cm}$ ，则 $\angle A$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$30°$

B．

$25°$

C．

$15°$

D．

$10°$

【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{AD})$ ，将矩形纸片沿过点 $D$ 的直线折叠，使点 $A$ 落在边 $\mathit{DC}$ 上，点 $A$ 的对应点为 $A\text{'}$ ，折痕为 $\mathit{DE}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上．求证：四边形 $\mathit{AEA}\text{'}D$ 是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△ $A\text{'}\mathit{DE}$ 为等腰三角形．现将图①中的点 $A\text{'}$ 沿 $\mathit{DC}$ 向右平移至点 $Q$ 处（点 $Q$ 在点 $C$ 的左侧），如图②，折痕为 $\mathit{PF}$ ，点 $F$ 在 $\mathit{DC}$ 上，点 $P$ 在 $\mathit{AB}$ 上，那么 $\mathit{\Delta PQF}$ 还是等腰三角形吗？请说明理由．

[结论应用]在图②中，当 $\mathit{QC}=\mathit{QP}$ 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 $C$ 与点 $P$ 重合，折痕为 $\mathit{QG}$ ，点 $G$ 在 $\mathit{AB}$ 上．要使四边形 $\mathit{PGQF}$ 为菱形，则 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=$ 　 　．

（1）如图①，点 $D$ 在 $\mathit{AB}$ 上，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ， $\angle B=\angle C$ ．求证： $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ．

（2）如图②， $A$ 为 $\odot O$ 上一点，按以下步骤作图：

①连接 $\mathit{OA}$ ；

②以点 $A$ 为圆心， $\mathit{AO}$ 长为半径作弧，交 $\odot O$ 于点 $B$ ；

③在射线 $\mathit{OB}$ 上截取 $\mathit{BC}=\mathit{OA}$ ；

④连接 $\mathit{AC}$ ．

若 $\mathit{AC}=3$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．

（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；

（2）若，，求图中阴影部分的面积．

如图， $\mathit{AB}$ 为半圆 $O$ 的直径， $M$ ， $C$ 是半圆上的三等分点， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{BD}$ 与半圆 $O$ 相切于点 $B$ ．点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AM}}$ 上一动点（不与点 $A$ ， $M$ 重合），直线 $\mathit{PC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $D$ ， $\mathit{BE}\perp \mathit{OC}$ 于点 $E$ ，延长 $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{PC}$ 于点 $F$ ，则下列结论正确的是 　　．（写出所有正确结论的序号）

① $\mathit{PB}=\mathit{PD}$ ；② $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$ 的长为 $\frac{4}{3}\pi$ ；③ $\angle \mathit{DBE}=45°$ ；④ $\mathit{\Delta BCF}\backsim \mathit{\Delta PFB}$ ；⑤ $\mathit{CF}·\mathit{CP}$ 为定值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径．直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，在 $l$ 上取一点 $D$ 使得 $\mathit{DA}=\mathit{DC}$ ，线段 $\mathit{DC}$ ， $\mathit{AB}$ 的延长线交于点 $E$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{DC}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=2$ ， $\angle \mathit{CAB}=30°$ ，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi )$ ．