如图,抛物线 的图象经过点 ,交 轴于点 、 (点 在点 左侧),连接 ,直线 与 轴交于点 ,与 上方的抛物线交于点 ,与 交于点 .
(1)求抛物线的解析式及点 、 的坐标;
(2) 是否存在最大值?若存在,请求出其最大值及此时点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,在平面直角坐标系中,点 的坐标是 ,在 轴上任取一点 ,连接 ,分别以点 和点 为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧相交于 , 两点,作直线 ,过点 作 轴的垂线 交直线 于点 .根据以上操作,完成下列问题.
探究:
(1)线段 与 的数量关系为 ,其理由为: .
(2)在 轴上多次改变点 的位置,按上述作图方法得到相应点 的坐标,并完成下列表格:
的坐标 |
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的坐标 |
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猜想:
(3)请根据上述表格中 点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线 ,猜想曲线 的形状是 .
验证:
(4)设点 的坐标是 ,根据图1中线段 与 的关系,求出 关于 的函数解析式.
应用:
(5)如图3,点 , ,点 为曲线 上任意一点,且 ,求点 的纵坐标 的取值范围.
如图,抛物线的顶点为 ,与 轴交于点 ,点 为其对称轴上的一个定点.
(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)已知直线 是过点 且垂直于 轴的定直线,若抛物线上的任意一点 到直线 的距离为 ,求证: ;
(3)已知坐标平面内的点 ,请在抛物线上找一点 ,使 的周长最小,并求此时 周长的最小值及点 的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 图象的顶点为 ,与 轴交于点 ,异于顶点 的点 在该函数图象上.
(1)当 时,求 的值.
(2)当 时,若点 在第一象限内,结合图象,求当 时,自变量 的取值范围.
(3)作直线 与 轴相交于点 .当点 在 轴上方,且在线段 上时,求 的取值范围.
如图,已知在平面直角坐标系 中,抛物线 的顶点为 ,与 轴的交点为 .过点 的直线 与抛物线交于另一点 (点 在对称轴左侧),点 在 的延长线上,连结 , , 和 .
(1)如图1,当 轴时,
①已知点 的坐标是 ,求抛物线的解析式;
②若四边形 是平行四边形,求证: .
(2)如图2,若 , ,是否存在这样的点 ,使四边形 是平行四边形?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系中,设二次函数 , , 是实数, .
(1)若函数 的对称轴为直线 ,且函数 的图象经过点 ,求函数 的表达式.
(2)若函数 的图象经过点 ,其中 ,求证:函数 的图象经过点 , .
(3)设函数 和函数 的最小值分别为 和 ,若 ,求 , 的值.
已知直线 交 轴于点 ,交 轴于点 ,二次函数的图象过 , 两点,交 轴于另一点 , ,且对于该二次函数图象上的任意两点 , , , ,当 时,总有 .
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线 ,求证:当 时, ;
(3) 为线段 上不与端点重合的点,直线 过点 且交直线 于点 ,求 与 面积之和的最小值.
抛物线 经过点 和点 ,与 轴交于点 .
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点 是该抛物线上的动点,且位于 轴的左侧.
①如图1,过点 作 轴于点 ,作 轴于点 ,当 时,求 的长;
②如图2,该抛物线上是否存在点 ,使得 ?若存在,请求出所有点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,抛物线 与 轴正半轴, 轴正半轴分别交于点 , ,且 ,点 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点 的坐标;
(2)点 , 为抛物线上两点(点 在点 的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点 为抛物线上点 , 之间(含点 , 的一个动点,求点 的纵坐标 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中,点 为坐标原点,抛物线 的顶点是 ,将 绕点 顺时针旋转 后得到 ,点 恰好在抛物线上, 与抛物线的对称轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2) 是线段 上一动点,且不与点 , 重合,过点 作平行于 轴的直线,与 的边分别交于 , 两点,将 以直线 为对称轴翻折,得到△ ,设点 的纵坐标为 .
①当△ 在 内部时,求 的取值范围;
②是否存在点 ,使 ,若存在,求出满足条件 的值;若不存在,请说明理由.
已知点 是抛物线 , , 为常数, , 与 轴的一个交点.
(Ⅰ)当 , 时,求该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)若抛物线与 轴的另一个交点为 ,与 轴的交点为 ,过点 作直线 平行于 轴, 是直线 上的动点, 是 轴上的动点, .
①当点 落在抛物线上(不与点 重合),且 时,求点 的坐标;
②取 的中点 ,当 为何值时, 的最小值是 ?
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 与直线 相交于 , 两点,其中 , .
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点 为直线 下方抛物线上的任意一点,连接 , ,求 面积的最大值;
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ,平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ,点 为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点 ,使以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .点 为抛物线 上的一个动点.过点 作 轴于点 ,交直线 于点 .
(1)求 、 的值;
(2)设点 在抛物线 的对称轴上,当 的周长最小时,直接写出点 的坐标;
(3)在第一象限,是否存在点 ,使点 到直线 的距离是点 到直线 的距离的5倍?若存在,求出点 所有的坐标;若不存在,请说明理由.
抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .点 为抛物线 上的一个动点.过点 作 轴于点 ,交直线 于点 .
(1)求 、 的值;
(2)设点 在抛物线 的对称轴上,当 的周长最小时,直接写出点 的坐标;
(3)在第一象限,是否存在点 ,使点 到直线 的距离是点 到直线 的距离的5倍?若存在,求出点 所有的坐标;若不存在,请说明理由.