如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(c>0)$的顶点为 $D$，与 $y$轴的交点为 $C$．过点 $C$的直线 $\mathit{CA}$与抛物线交于另一点 $A$（点 $A$在对称轴左侧），点 $B$在 $\mathit{AC}$的延长线上，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$， $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$．

（1）如图1，当 $\mathit{AC}//x$轴时，

①已知点 $A$的坐标是 $(-2,1)$，求抛物线的解析式；

②若四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形，求证： $b^2=4c$．

（2）如图2，若 $b=-2$， $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}=\frac{3}{5}$，是否存在这样的点 $A$，使四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形？若存在，求出点 $A$的坐标；若不存在，请说明理由．