初中数学二次函数综合题试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与坐标轴交于 $A(0,-2)$ ， $B(4,0)$ 两点，直线 $\mathit{BC}:y=-2x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ．点 $D$ 为直线 $\mathit{AB}$ 下方抛物线上一动点，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $G$ ， $\mathit{DG}$ 分别交直线 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的表达式；

（2）当 $\mathit{GF}=\frac{1}{2}$ 时，连接 $\mathit{BD}$ ，求 $\mathit{\Delta BDF}$ 的面积；

（3）① $H$ 是 $y$ 轴上一点，当四边形 $\mathit{BEHF}$ 是矩形时，求点 $H$ 的坐标；

②在①的条件下，第一象限有一动点 $P$ ，满足 $\mathit{PH}=\mathit{PC}+2$ ，求 $\mathit{\Delta PHB}$ 周长的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点 $P(0,1)$，求 $a+b$的最小值；

（2）已知点 $P_1(-2,1)$， $P_2(2,-1)$， $P_3(2,1)$中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线 $l:y=\mathit{kx}+1$与抛物线交于 $M$， $N$两点，点 $A$在直线 $y=-1$上，且 $\angle \mathit{MAN}=90°$，过点 $A$且与 $x$轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$于点 $B$， $C$．求证： $\mathit{\Delta MAB}$与 $\mathit{\Delta MBC}$的面积相等．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$与 $y$轴交于点 $C$，与x轴交于 $A，B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），且 $A$点坐标为 $(-\sqrt{2},0)$，直线 $\mathit{BC}$的解析式为 $y=-\frac{\sqrt{2}}{3}x+2$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$，交抛物线于点D，点E为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；

（3）将抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$向左平移 $\sqrt{2}$个单位，已知点 $M$为抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+2（a\ne 0）$的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形 $\mathit{BECD}$的面积最大时，是否存在以 $A，E，M，N$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+4（a\ne 0）$与y轴交于点A，与x轴交于点 $C\mathit{（﹣}2，0）$，且经过点B（8，4），连接AB，BO，作 $\mathit{AM}\perp \mathit{OB}$于点M，将 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：

（1）抛物线的解析式为　            ，顶点坐标为　           ；

（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；

（3）如图（2），将图（1）中 $\mathit{Rt}△\mathit{OMA}$沿着OB平移后，得到 $\mathit{Rt}△\mathit{DEF}$．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形 $\mathit{AMEF}$的面积．

如图，二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $A（4\mathit{，﹣}4）$， $B\mathit{（﹣}2，m）$，交y轴于点 $C（0\mathit{，﹣}4）$．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接 $\mathit{AB}，\mathit{AD}$，点E是线段AB上的一动点，过点E作 $\mathit{EF}\parallel \mathit{BD}$交AD于点F．

（1）求二次函数 $y＝\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$的表达式；

（2）判断 $△\mathit{AB}D$的形状，并说明理由；

（3）在点E的运动过程中，直线 $\mathit{BD}$上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时 $\mathit{AG}与\mathit{BD}$的数量关系，并求出点E的坐标；

（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得 $\angle \mathit{EPF}＝90°$的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得 $△\mathit{HPQ}$是以 $\angle \mathit{PQH}$为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，经过 $A(-2,0)$， $B$， $C$三点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+\frac{8}{3}(a<0)$与 $x$轴的另一个交点为 $D$，其顶点为 $M$，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）已知 $R$是抛物线上的点，使得 $\mathit{\Delta ADR}$的面积是 $▱\mathit{OABC}$的面积的 $\frac{3}{4}$，求点 $R$的坐标；

（3）已知 $P$是抛物线对称轴上的点，满足在直线 $\mathit{MD}$上存在唯一的点 $Q$，使得 $\angle \mathit{PQE}=45°$，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $x$轴于 $A(-3,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$． $M$为线段 $\mathit{OB}$上的一个动点，过点 $M$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，交抛物线于点 $P$，交 $\mathit{BC}$于点 $Q$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 $P$作 $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $N$．设 $M$点的坐标为 $M(m,0)$，请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{PN}$的长，并求出当 $m$为何值时 $\mathit{PN}$有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 $M$在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，且 $\mathit{OA}=2\mathit{OB}$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，抛物线对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}$， $D$为第一象限内抛物线上一动点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{OA}$于点 $E$，与 $\mathit{AC}$交于点 $F$，设点 $D$的横坐标为 $m$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）当线段 $\mathit{DF}$的长度最大时，求 $D$点的坐标；

（3）抛物线上是否存在点 $D$，使得以点 $O$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BOC}$相似？若存在，求出 $m$的值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+8(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$和点 $B(8,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{BC}$与抛物线的对称轴 $l$交于点 $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $P$是第一象限内抛物线上的动点，连接 $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，当 $S_{\mathit{\Delta PBC}}=\frac{3}{5}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$时，求点 $P$的坐标；

（3）点 $N$是对称轴 $l$右侧抛物线上的动点，在射线 $\mathit{ED}$上是否存在点 $M$，使得以点 $M$， $N$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta OBC}$相似？若存在，求点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$的顶点为 $A$．点 $B$的坐标为 $(3,5)$．

（1）求抛物线过点 $B$时顶点 $A$的坐标；

（2）点 $A$的坐标记为 $(x,y)$，求 $y$与 $x$的函数表达式；

（3）已知 $C$点的坐标为 $(0,2)$，当 $m$取何值时，抛物线 $y=x^2-2\mathit{mx}+m^2+2m-1$与线段 $\mathit{BC}$只有一个交点．

若一次函数 $y=-3x-3$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $C$ 两点，点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$ ，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图（1）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图（1），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，点 $E$ 在抛物线上 $(y$ 轴左侧），若 $\mathit{BC}$ 恰好平分 $\angle \mathit{DBE}$ ．求直线 $\mathit{BE}$ 的表达式；

（3）如图（2），若点 $P$ 在抛物线上（点 $P$ 在 $y$ 轴右侧），连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $S_{\mathit{\Delta BFP}}=m{S}_{\mathit{\Delta BAF}}$ ．

①当 $m=\frac{1}{2}$ 时，求点 $P$ 的坐标；

②求 $m$ 的最大值．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-3+2a^2(a\ne 0)$ ．

（1）求这条抛物线的对称轴；

（2）若该抛物线的顶点在 $x$ 轴上，求其解析式；

（3）设点 $P(m,y_1)$ ， $Q(3,y_2)$ 在抛物线上，若 $y_1<y_2$ ，求 $m$ 的取值范围．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，其对称轴与线段 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ，垂直于 $x$ 轴的动直线 $l$ 分别交抛物线和线段 $\mathit{BC}$ 于点 $P$ 和点 $F$ ，动直线 $l$ 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 $x$ 轴正方向移动到 $B$ 点．

（1）求出二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 和 $\mathit{BC}$ 所在直线的表达式；

（2）在动直线 $l$ 移动的过程中，试求使四边形 $\mathit{DEFP}$ 为平行四边形的点 $P$ 的坐标；

（3）连接 $\mathit{CP}$ ， $\mathit{CD}$ ，在动直线 $l$ 移动的过程中，抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以点 $P$ ， $C$ ， $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta DCE}$ 相似？如果存在，求出点 $P$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

我们把方程 ${(x-m)}^2+{(y-n)}^2=r^2$ 称为圆心为 $(m,n)$ 、半径长为 $r$ 的圆的标准方程．例如，圆心为 $(1,-2)$ 、半径长为3的圆的标准方程是 ${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=9$ ．在平面直角坐标系中， $\odot C$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(8,0)$ ，与 $y$ 轴相切于点 $D(0,4)$ ，过点 $A$ ， $B$ ， $D$ 的抛物线的顶点为 $E$ ．

（1）求 $\odot C$ 的标准方程；

（2）试判断直线 $\mathit{AE}$ 与 $\odot C$ 的位置关系，并说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ， $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ，直线 $l$ 是抛物线的对称轴，在直线 $l$ 右侧的抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BD}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$ 在 $x$ 轴的下方，当 $\mathit{\Delta BCD}$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ 时，求 $\mathit{\Delta ABD}$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，点 $M$ 是 $x$ 轴上一点，点 $N$ 是抛物线上一动点，是否存在点 $N$ ，使得以点 $B$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点，以 $\mathit{BD}$ 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．