初中数学规律型：数字的变化类试题

如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．

如图1，当时，；

如图2，当时，；

如图3，当时，；

依此类推，当为正整数）时，　　．

）观察下列各式：

，

，

，

请利用你发现的规律，计算：

，

其结果为　　．

南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了 ${(a+b)}^n(n$ 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为"杨辉三角"

${(a+b)}^0=1$

${(a+b)}^1=a+b$

${(a+b)}^2=a^2+2\mathit{ab}+b^2$

${(a+b)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

${(a+b)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

${(a+b)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$

$\dots$

则 ${(a+b)}^9$ 展开式中所有项的系数和是 $($ 　　 $)$

A．

128

B．

256

C．

512

D．

1024

数轴上，两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，，．，是整数）处，那么线段的长度为　．

已知有理数 $a\ne 1$ ，我们把 $\frac{1}{1-a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1-2}=-1$ ， $-1$ 的差倒数是 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ ．如果 $a_1=-2$ ， $a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数， $a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数， $a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数 $\dots \dots$ 依此类推，那么 $a_1+a_2+\dots +a_{100}$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

$-7.5$

B．

7.5

C．

5.5

D．

$-5.5$

观察下列一组数：

，，，，，，

它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第个数　　（用含的式子表示）

阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：

设①

则②

②①得

请仿照小明的方法解决以下问题：

（1）　　；

（2）　　；

（3）求的和，是正整数，请写出计算过程）．

如图，过点 $A_0(0,1)$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 于点 $A_1$ ，过点 $A_1$ 作直线 $l$ 的垂线，交 $y$ 轴于点 $A_2$ ，过点 $A_2$ 作 $y$ 轴的垂线交直线 $l$ 于点 $A_3$ ， $\dots$ ，这样依次下去，得到△ $A_0{A}_1{A}_2$ ，△ $A_2{A}_3{A}_4$ ，△ $A_4{A}_5{A}_6$ ， $\dots$ ，其面积分别记为 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ ， $\dots$ ，则 $S_{100}$ 为 $($ 　　 $)$

A．

${\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^{100}$

B．

${\left(3\sqrt{3}\right)}^{100}$

C．

$3\sqrt{3}\times 4^{199}$

D．

$3\sqrt{3}\times 2^{395}$

我们规定：，，，，，（即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，，按此规律，　　．

如图，在平面直角坐标系中，点，、，、，，，，均在反比例函数的图象上，点、、、、均在轴的正半轴上，且△、△、△、、△均为等腰直角三角形，、、、、分别为以上等腰直角三角形的底边，则的值等于　　．

$a$ 是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1-a}$ 称为 $a$ 的差倒数，如2的差倒数为 $\frac{1}{1-2}=-1$ ， $-1$ 的差倒数 $\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$ ，已知 $a_1=5$ ， $a_2$ 是 $a_1$ 的差倒数， $a_3$ 是 $a_2$ 的差倒数， $a_4$ 是 $a_3$ 的差倒数 $\dots$ ，依此类推， $a_{2019}$ 的值是 $($ 　　 $)$

A．

5

B．

$-\frac{1}{4}$

C．

$\frac{4}{3}$

D．

$\frac{4}{5}$

我们规定：，，，，，（即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，，按此规律，　　．

我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将这九个数字填入的方格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等．如图的幻方中，字母所表示的数是　　．

在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数 “纯数”．

定义：对于自然数，在通过列竖式进行的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数为“纯数”．

例如：32是“纯数”，因为在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为在列竖式计算时个位产生了进位．

（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；

（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．

按一定规律排列的单项式： $x^3$ ， $-x^5$ ， $x^7$ ， $-x^9$ ， $x^{11}$ ， $\dots \dots$ ，第 $n$ 个单项式是 $($ 　　 $)$

A．

${(-1)}^{n-1}{x}^{2n-1}$

B．

${(-1)}^n{x}^{2n-1}$

C．

${(-1)}^{n-1}{x}^{2n+1}$

D．

${(-1)}^n{x}^{2n+1}$