初中数学规律型：数字的变化类试题

观察下列各等式：

① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；

② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$；

③ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；

$\dots$

根据以上规律，请写出第5个等式：　　．

若把第 $n$个位置上的数记为 $x_n$，则称 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $\dots$， $x_n$有限个有序放置的数为一个数列 $A$．定义数列 $A$的“伴生数列” $B$是： $y_1$， $y_2$， $y_3$， $\dots$， $y_n$，其中 $y_n$是这个数列中第 $n$个位置上的数， $n=1$，2， $\dots$， $k$且 $y_n=\left\{\begin{array}{c}0,x_{n-1}=x_{n+1}\\ 1,x_{n-1}\ne x_{n+1}\end{array}\right.$并规定 $x_0=x_n$， $x_{n+1}=x_1$．如果数列 $A$只有四个数，且 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $x_4$依次为3，1，2，1，则其“伴生数列” $B$是 　　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$， $2+2^2+2^3=2^4-2$， $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$， $\dots$，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$， $2^{101}$， $2^{102}$， $\dots$， $2^{199}$，若 $2^{100}=m$，用含 $m$的代数式表示这组数的和是 　　．

如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　　行第 　　列．

人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$， $b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，得 $\mathit{ab}=1$，记 $S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$， $S_2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$， $\dots$， $S_{10}=\frac{1}{1+a^{10}}+\frac{1}{1+b^{10}}$，则 $S_1+S_2+\dots +S_{10}=$　　．

有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是 $\frac{1}{1\times 2}$ ；

第二个数是 $\frac{1}{2\times 3}$ ；

第三个数是 $\frac{1}{3\times 4}$ ；

$\dots$

对任何正整数 $n$ ，第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ ．

（1）经过探究，我们发现： $\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ ，

设这列数的第5个数为 $a$ ，那么 $a>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a<\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ，哪个正确？

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第 $n$ 个数（即用正整数 $n$ 表示第 $n$ 数），并且证明你的猜想满足"第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ "；

（3）设 $M$ 表示 $\frac{1}{1^2}$ ， $\frac{1}{2^2}$ ， $\frac{1}{3^2}$ ， $\dots$ ， $\frac{1}{{2016}^2}$ ，这2016个数的和，即 $M=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots \frac{1}{{2016}^2}$ ，

求证： $\frac{2016}{2017}<M<\frac{4031}{2016}$ ．

观察图形，解答问题：

（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：

	图①	图②	图③
三个角上三个数的积	1×（－1）×2＝－2	（－3）×（－4）×（－5）＝－60
三个角上三个数的和	1＋（－1）＋2＝2	（－3）＋（－4）＋（－5）＝－12
积与和的商	（－2）÷2＝－1

 
（2）请用你发现的规律求出图④中的数x和图⑤中的数y．