人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$， $b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，得 $\mathit{ab}=1$，记 $S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$， $S_2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$， $\dots$， $S_{10}=\frac{1}{1+a^{10}}+\frac{1}{1+b^{10}}$，则 $S_1+S_2+\dots +S_{10}=$　　．