初中数学规律型：数字的变化类试题

观察下列等式： $1=1^2-0^2$， $3=2^2-1^2$， $5=3^2-2^2$， $\dots$按此规律，则第 $n$个等式为 $2n-1=$　　．

按一定规律排列的单项式： $a^2$ ， $4a^3$ ， $9a^4$ ， $16a^5$ ， $25a^6$ ， $\dots$ ，第 $n$ 个单项式是 $($ 　　 $)$

A．

$n^2{a}^{n+l}$

B．

$n^2{a}^{n-1}$

C．

$n^n{a}^{n+1}$

D．

${(n+1)}^2{a}^n$

生活中常用的十进制是用 $0~9$ 这十个数字来表示数，满十进一，例： $12=1\times 10+2$ ， $212=2\times 10\times 10+1\times 10+2$ ；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用 $0~F$ 来表示 $0~15$ ，满十六进一，它与十进制对应的数如表：

十进制	0	1	2	$\dots$	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\dots$
十六进制	0	1	2	$\dots$	8	9	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	10	11	$\dots$

例：十六进制 $2B$ 对应十进制的数为 $2\times 16+11=43$ ， $10C$ 对应十进制的数为 $1\times 16\times 16+0\times 16+12=268$ ，那么十六进制中 $14E$ 对应十进制的数为 $($ 　　 $)$

A．

28

B．

62

C．

238

D．

334

按规律排列的一组数据： $\frac{1}{2}$ ， $\frac{3}{5}$ ，□， $\frac{7}{17}$ ， $\frac{9}{26}$ ， $\frac{11}{37}$ ， $\dots$ ，其中□内应填的数是 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{2}{3}$

B．

$\frac{5}{11}$

C．

$\frac{5}{9}$

D．

$\frac{1}{2}$

观察下列各等式：

① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；

② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$；

③ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；

$\dots$

根据以上规律，请写出第5个等式：　　．

若把第 $n$个位置上的数记为 $x_n$，则称 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $\dots$， $x_n$有限个有序放置的数为一个数列 $A$．定义数列 $A$的“伴生数列” $B$是： $y_1$， $y_2$， $y_3$， $\dots$， $y_n$，其中 $y_n$是这个数列中第 $n$个位置上的数， $n=1$，2， $\dots$， $k$且 $y_n=\left\{\begin{array}{c}0,x_{n-1}=x_{n+1}\\ 1,x_{n-1}\ne x_{n+1}\end{array}\right.$并规定 $x_0=x_n$， $x_{n+1}=x_1$．如果数列 $A$只有四个数，且 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $x_4$依次为3，1，2，1，则其“伴生数列” $B$是 　　．

如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 　　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$， $2+2^2+2^3=2^4-2$， $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$， $\dots$，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$， $2^{101}$， $2^{102}$， $\dots$， $2^{199}$，若 $2^{100}=m$，用含 $m$的代数式表示这组数的和是 　　．

根据图中数字的规律，若第 $n$ 个图中的 $q=143$ ，则 $p$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

100

B．

121

C．

144

D．

169

将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是 $($ 　　 $)$

A．

2025

B．

2023

C．

2021

D．

2019

如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　　行第 　　列．

人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$， $b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，得 $\mathit{ab}=1$，记 $S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$， $S_2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$， $\dots$， $S_{10}=\frac{1}{1+a^{10}}+\frac{1}{1+b^{10}}$，则 $S_1+S_2+\dots +S_{10}=$　　．

已知 $a_1$ 为实数，规定运算： $a_2=1-\frac{1}{a_1}$ ， $a_3=1-\frac{1}{a_2}$ ， $a_4=1-\frac{1}{a_3}$ ， $a_5=1-\frac{1}{a_4}$ ， $\dots$ ， $a_n=1-\frac{1}{a_{n-1}}$ ．按上述方法计算：当 $a_1=3$ 时， $a_{2021}$ 的值等于 $($ 　　 $)$

A．

$-\frac{2}{3}$

B．

$\frac{1}{3}$

C．

$-\frac{1}{2}$

D．

$\frac{2}{3}$

观察下列各项： $1\frac{1}{2}$， $2\frac{1}{4}$， $3\frac{1}{8}$， $4\frac{1}{16}$， $\dots$，则第 $n$项是 　　．

一组按规律排列的代数式： $a+2b$， $a^2-2b^3$， $a^3+2b^5$， $a^4-2b^7$， $\dots$，则第 $n$个式子是　　．