初中数学规律型：数字的变化类试题

观察“田”字中各数之间的关系：

则 $c$的值为　　．

定义一种对正整数 $n$的“ $F$”运算：①当 $n$为奇数时， $F\left(n\right)=3n+1$；②当 $n$为偶数时， $F\left(n\right)=\frac{n}{2^k}$（其中 $k$是使 $F\left(n\right)$为奇数的正整数） $\dots \dots$，两种运算交替重复进行，例如，取 $n=24$，则：

若 $n=13$，则第2018次“ $F$”运算的结果是 $($　　 $)$

A．1B．4C．2018D． $4^{2018}$

我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 ${(a+b)}^n$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”

根据”杨辉三角”请计算 ${(a+b)}^8$的展开式中从左起第四项的系数为 $($　　 $)$

A．84B．56C．35D．28

观察下列各式：

$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1\times 2}$，

$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2\times 3}$，

$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3\times 4}$，

$\dots \dots$

请利用你所发现的规律，

计算 $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\dots +\sqrt{1+\frac{1}{9^2}+\frac{1}{{10}^2}}$，其结果为　　．

观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 $a$的值为 $($　　 $)$

A．23B．75C．77D．139

观察下列各式：

$\frac{2}{1\times 3}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}$；

$\frac{2}{2\times 4}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$；

$\frac{2}{3\times 5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$；

$\dots$

请利用你所得结论，化简代数式： $\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{2\times 4}+\frac{1}{3\times 5}+\dots +\frac{1}{n(n+2)}(n⩾3$且 $n$为整数），其结果为　　．

观察下列数据： $-2$， $\frac{5}{2}$， $-\frac{10}{3}$， $\frac{17}{4}$， $-\frac{26}{5}$， $\dots$，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是　 $-\frac{122}{11}$　．

一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$满足条件： $a_1=\frac{1}{2}$， $a_n=\frac{1}{1-a_{n-1}}(n⩾2$，且 $n$为整数），则 $a_{2016}=$　        　．

按一定规律排列的一列数： $\frac{1}{2}$，1，1，□， $\frac{9}{11}$， $\frac{11}{13}$， $\frac{13}{17}$， $\dots$请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为　      　．

在求 $1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设： $S=1+3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8$①，

然后在①式的两边都乘以3，得： $3S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9$②，

② $-$①得， $3S-S=3^9-1$，即 $2S=3^9-1$，

所以 $S=\frac{3^9-1}{2}$．

得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母 $m(m\ne 0$且 $m\ne 1)$，能否求出 $1+m+m^2+m^3+m^4+\dots +m^{2016}$的值？如能求出，其正确答案是　                              　．

观察下列式子：

$\mathit{1}\mathit{\times }\mathit{3}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{=}{\mathit{2}}^{\mathit{2}}$；

$\mathit{7}\mathit{\times }\mathit{9}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{=}{\mathit{8}}^{\mathit{2}}$；

$\mathit{25}\mathit{\times }\mathit{27}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{=}{\mathit{26}}^{\mathit{2}}$；

$\mathit{79}\mathit{\times }\mathit{81}\mathit{+}\mathit{1}\mathit{=}{\mathit{80}}^{\mathit{2}}$；

$\mathit{\dots }$

可猜想第2016个式子为　                                            　．

在一列数： $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$， $a_n$中， $a_1=3$， $a_2=7$，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是 $($　　 $)$

A．1B．3C．7D．9

将从1开始的连续自然数按以下规律排列：

第1行					1
第2行				2	3	4
第3行			9	8	7	6	5
第4行		10	11	12	13	14	15	16
第5行	25	24	23	22	21	20	19	18	17

$\dots$

则2017在第　    　行．

按一定规律排成的一列数依次为： $\frac{1}{2}$， $\frac{\sqrt{2}}{3}$， $\frac{\sqrt{3}}{10}$， $\frac{2}{15}$， $\frac{\sqrt{5}}{26}$， $\frac{\sqrt{6}}{35}$， $\dots$按此规律排下去，这列数中的第10个数是　　．

如图所示，下列各三角形中的三个数之间均有相同的规律，根据此规律，当图中 $m=90$时，正整数 $n$的值为　　．