初中数学规律型：数字的变化类试题

对于任意大于0的实数 $x$、 $y$，满足： ${\log }_2(x·y)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y$，若 ${\log }_{2}2=1$，则 ${\log }_{2}16=$　　．

设 $a_1$， $a_2$， $a_3\dots \dots$是一列正整数，其中 $a_1$表示第一个数， $a_2$表示第二个数，依此类推， $a_n$表示第 $n$个数 $(n$是正整数）．已知 $a_1=1$， $4a_n={(a_{n+1}-1)}^2-{(a_n-1)}^2$，则 $a_{2018}=$　　．

根据下列材料，解答问题．

等比数列求和：

概念：对于一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots a_n\dots (n$为正整数），若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即 $\frac{a_k}{a_{k-1}}=q$（常数），那么这一列数 $a_1$， $a_2$， $a_3$， $\dots$， $a_n$， $\dots$成等比数列，这一常数 $q$叫做该数列的公比．

例：求等比数列1，3， $3^2$， $3^3$， $\dots$， $3^{100}$的和，

解：令 $S=1+3+3^2+3^3+\dots +3^{100}$

则 $3S=3+3^2+3^3+\dots +3^{100}+3^{101}$

因此， $3S-S=3^{101}-1$，所以 $S=\frac{3^{101}-1}{2}$

即 $1+3+3^2+3^3\dots +3^{100}=\frac{3^{101}-1}{2}$

仿照例题，等比数列1，5， $5^2$， $5^3$， $\dots$， $5^{2018}$的和为　　．

已知 $a_1=-\frac{3}{2}$， $a_2=\frac{5}{5}$， $a_3=-\frac{7}{10}$， $a_4=\frac{9}{17}$， $a_5=-\frac{11}{26}$， $\dots$，则 $a_8=$　　．

如表是一个 $4\times 4(4$行 4 列共 16 个“数” 组成） 的奇妙方阵， 从这个方阵中选四个“数”， 而且这四个“数”中的任何两个不在同一行， 也不在同一列， 有很多选法， 把每次选出的四个“数”相加， 其和是定值， 则方阵中第三行三列的“数”是 $($　　 $)$

$3^0$	$\sqrt{4}$	$2\sqrt{3}\sin 60°$	$2^2$
$-3$	$-2$	$-\sqrt{2}\sin 45°$	0
$|-5|$	6		$2^3$
${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$	4	$\sqrt{25}$	${\left(\frac{1}{6}\right)}^{-1}$

A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8

计算 $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\dots \dots +\frac{1}{9900}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{100}$B． $\frac{99}{100}$C． $\frac{1}{99}$D． $\frac{100}{99}$

根据下列各式的规律，在横线处填空：

$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$， $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$， $\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30}$， $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}\dots$， $\frac{1}{2017}+\frac{1}{2018}-$　　 $=\frac{1}{2017\times 2018}$

按一定规律排列的一列数依次为： $\frac{2}{3}$，1， $\frac{8}{7}$， $\frac{11}{9}$， $\frac{14}{11}$， $\frac{17}{13}$， $\dots$，按此规律，这列数中的第100个数是　　．

观察下列关于自然数的式子：

$4\times 1^2-1^2$①

$4\times 2^2-3^2$②

$4\times 3^2-5^2$③

$\dots$

根据上述规律，则第2017个式子的值是 $($　　 $)$

A．8064B．8065C．8066D．8067

杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：

按照前面的规律，则 ${(a+b)}^5=$　　．

我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式 ${(a+b)}^n$的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

根据“杨辉三角”请计算 ${(a+b)}^{20}$的展开式中第三项的系数为 $($　　 $)$

A．2017B．2016C．191D．190

观察下列运算过程：

计算： $1+2+2^2+\dots +2^{10}$．

解：设 $S=1+2+2^2+\dots +2^{10}$，①

① $\times 2$得

$2S=2+2^2+2^3+\dots +2^{11}$，② $?$

② $-$①得

$S=2^{11}-1$．

所以， $1+2+2^2+\dots +2^{10}=2^{11}-1$

运用上面的计算方法计算： $1+3+3^2+\dots +3^{2017}=$　　．

阅读材料并解决问题：

求 $1+2+2^2+2^3+\dots +2^{2014}$的值，令 $S=1+2+2^2+2^3+\dots +2^{2014}$

                  等式两边同时乘以2，则 $2S=2+2^2+2^3+\dots +2^{2014}+2^{2015}$

                  两式相减：得 $2S-S=2^{2015}-1$

                  所以， $S=2^{2015}-1$

依据以上计算方法，计算 $1+3+3^2+3^3+\dots +3^{2015}=$　　．

按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35， $\dots$，按此规律排列下去，则这列数中的第100个数是 $($　　 $)$

A．9999B．10000C．10001D．10002

计算 $\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\frac{1}{7\times 9}+\dots +\frac{1}{37\times 39}$的结果是 $($　　 $)$

A． $\frac{19}{37}$B． $\frac{19}{39}$C． $\frac{37}{39}$D． $\frac{38}{39}$