初中数学规律型：数字的变化类试题

观察下列按一定规律排列的 $n$ 个数：2，4，6，8，10，12， $\dots$ ，若最后三个数之和是3000，则 $n$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

499

B．

500

C．

501

D．

1002

如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是　   　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$ ； $2+2^2+2^3=2^4-2$ ； $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$ ； $\dots$ 已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$ ， $2^{101}$ ， $2^{102}$ ， $\dots$ ， $2^{199}$ ， $2^{200}$ ，若 $2^{100}=S$ ，用含 $S$ 的式子表示这组数据的和是 $($ 　　 $)$

A．

$2S^2-S$

B．

$2S^2+S$

C．

$2S^2-2S$

D．

$2S^2-2S-2$

已知，当分别取1，2，3，，2020时，所对应值的总和是　　．

有一列数，按一定规律排列成1，，4，，16，，，其中某三个相邻数的积是，则这三个数的和是　　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$ ； $2+2^2+2^3=2^4-2$ ； $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2\dots$ 已知按一定规律排列的一组数： $2^{50}$ 、 $2^{51}$ 、 $2^{52}$ 、 $\dots$ 、 $2^{99}$ 、 $2^{100}$ ．若 $2^{50}=a$ ，用含 $a$ 的式子表示这组数的和是 $($ 　　 $)$

A．

$2a^2-2a$

B．

$2a^2-2a-2$

C．

$2a^2-a$

D．

$2a^2+a$

2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力．在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为　　和　　．

一列数按某规律排列如下： $\frac{1}{1}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{1}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{2}$ ， $\frac{3}{1}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{2}$ ， $\frac{4}{1}$ ， $\dots$ ，若第 $n$ 个数为 $\frac{5}{7}$ ，则 $n=($ 　　 $)$

A．

50

B．

60

C．

62

D．

71

将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　　．

观察下列一组数的排列规律：

，，，，，，，，，，，，，，，

那么，这一组数的第2019个数是　　．

从 $-1$ ，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作 $a_k$ ， $b_k)$ 构成一个数组 $M_K=\{a_k$ ， $b_k\}$ （其中 $k=1$ ， $2\dots S$ ，且将 $\{a_k$ ， $b_k\}$ 与 $\{b_k$ ， $a_k\}$ 视为同一个数组），若满足：对于任意的 $M_i=\{a_i$ ， $b_i\}$ 和 $M_j=\{a_j$ ， $b_j\left\}\right(i\ne j$ ， $1⩽i⩽S$ ， $1⩽j⩽S)$ 都有 $a_i+b_i\ne a_j+b_j$ ，则 $S$ 的最大值 $($ 　　 $)$

A．

10

B．

6

C．

5

D．

4

阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5，10，15，的公差为　　，第5项是　　．

（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．

所以

，

，

由此，请你填空完成等差数列的通项公式：　　．

（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？

我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）ⁿ的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）¹⁵的展开式按x的升幂排列得：（s+x）¹⁵＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₅x¹⁵．

依上述规律，解决下列问题：

（1）若s＝1，则a₂＝　　；

（2）若s＝2，则a₀+a₁+a₂+…+a₁₅＝　　．

观察下列等式：

①，

②，

③，

请你根据以上规律，写出第6个等式　                   　．

探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　 　．