初中数学规律型：数字的变化类计算题

观察下列等式：

第一个等式：

第二个等式：

第三个等式：

第四个等式：

按上述规律，回答下列问题：

（1）请写出第六个等式：　　　　；

（2）用含的代数式表示第个等式：　　　　；

（3）　　（得出最简结果）；

（4）计算：．

我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：

例：将 $0.\dot{7}$化为分数形式

由于 $0.\dot{7}=0.777\dots$，设 $x=0.777\dots$①

则 $10x=7.777\dots$②

② $-$①得 $9x=7$，解得 $x=\frac{7}{9}$，于是得 $0.\dot{7}=\frac{7}{9}$．

同理可得 $0.\dot{3}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$， $1.\dot{4}=1+0.\dot{4}=1+\frac{4}{9}=\frac{13}{9}$

根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）

（基础训练）

（1） $0.\dot{5}=$　    　， $5.\dot{8}=$　     　；

（2）将 $0.\dot{2}\dot{3}$化为分数形式，写出推导过程；

（能力提升）

（3） $0.\dot{3}1\dot{5}=$　    　， $2.0\dot{1}\dot{8}=$　    　；

（注 $:0.\dot{3}1\dot{5}=0.315315\dots$， $2.0\dot{1}\dot{8}=2.01818\dots )$

（探索发现）

（4）①试比较 $0.\dot{9}$与1的大小： $0.\dot{9}$　    　1（填“ $>$”、“ $<$”或“ $=$” $)$

②若已知 $0.\dot{2}8571\dot{4}=\frac{2}{7}$，则 $3.\dot{7}1428\dot{5}=$　     　．

（注 $:0.\dot{2}8571\dot{4}=0.285714285714\dots )$

有一列按一定顺序和规律排列的数：

第一个数是 $\frac{1}{1\times 2}$ ；

第二个数是 $\frac{1}{2\times 3}$ ；

第三个数是 $\frac{1}{3\times 4}$ ；

$\dots$

对任何正整数 $n$ ，第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ ．

（1）经过探究，我们发现： $\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2\times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3\times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ ，

设这列数的第5个数为 $a$ ，那么 $a>\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ， $a<\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$ ，哪个正确？

请你直接写出正确的结论；

（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第 $n$ 个数（即用正整数 $n$ 表示第 $n$ 数），并且证明你的猜想满足"第 $n$ 个数与第 $(n+1)$ 个数的和等于 $\frac{2}{n\times (n+2)}$ "；

（3）设 $M$ 表示 $\frac{1}{1^2}$ ， $\frac{1}{2^2}$ ， $\frac{1}{3^2}$ ， $\dots$ ， $\frac{1}{{2016}^2}$ ，这2016个数的和，即 $M=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots \frac{1}{{2016}^2}$ ，

求证： $\frac{2016}{2017}<M<\frac{4031}{2016}$ ．

将连续的偶数2，4，6，8，10……排成如下的数表．

（1）十字框的五个数的和与中间的数26有什么关系？
（2）设中间的数为m，用代数式表示十字框中的五个数之和；
（3）十字框中的五个数之和能等于2 060吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．