初中数学规律型：数字的变化类填空题

观察下列等式： $1=1^2-0^2$， $3=2^2-1^2$， $5=3^2-2^2$， $\dots$按此规律，则第 $n$个等式为 $2n-1=$　　．

观察下列各等式：

① $2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$；

② $3\sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$；

③ $4\sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$；

$\dots$

根据以上规律，请写出第5个等式：　　．

若把第 $n$个位置上的数记为 $x_n$，则称 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $\dots$， $x_n$有限个有序放置的数为一个数列 $A$．定义数列 $A$的“伴生数列” $B$是： $y_1$， $y_2$， $y_3$， $\dots$， $y_n$，其中 $y_n$是这个数列中第 $n$个位置上的数， $n=1$，2， $\dots$， $k$且 $y_n=\left\{\begin{array}{c}0,x_{n-1}=x_{n+1}\\ 1,x_{n-1}\ne x_{n+1}\end{array}\right.$并规定 $x_0=x_n$， $x_{n+1}=x_1$．如果数列 $A$只有四个数，且 $x_1$， $x_2$， $x_3$， $x_4$依次为3，1，2，1，则其“伴生数列” $B$是 　　．

如表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全表第四行空缺的数字是 　　．

观察等式： $2+2^2=2^3-2$， $2+2^2+2^3=2^4-2$， $2+2^2+2^3+2^4=2^5-2$， $\dots$，已知按一定规律排列的一组数： $2^{100}$， $2^{101}$， $2^{102}$， $\dots$， $2^{199}$，若 $2^{100}=m$，用含 $m$的代数式表示这组数的和是 　　．

如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第 　　行第 　　列．

人们把 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设 $a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$， $b=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，得 $\mathit{ab}=1$，记 $S_1=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}$， $S_2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$， $\dots$， $S_{10}=\frac{1}{1+a^{10}}+\frac{1}{1+b^{10}}$，则 $S_1+S_2+\dots +S_{10}=$　　．

观察下列各项： $1\frac{1}{2}$， $2\frac{1}{4}$， $3\frac{1}{8}$， $4\frac{1}{16}$， $\dots$，则第 $n$项是 　　．

一组按规律排列的代数式： $a+2b$， $a^2-2b^3$， $a^3+2b^5$， $a^4-2b^7$， $\dots$，则第 $n$个式子是　　．

如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15， $\dots$，我们把第一个数记为 $a_1$，第二个数记为 $a_2$，第三个数记为 $a_3$， $\dots$，第 $n$个数记为 $a_n$，则 $a_4+a_{200}=$　 　．

观察下列各式： $a_1=\frac{2}{3}$， $a_2=\frac{3}{5}$， $a_3=\frac{10}{7}$， $a_4=\frac{15}{9}$， $a_5=\frac{26}{11}$， $\dots$，根据其中的规律可得 $a_n=$　     　（用含 $n$的式子表示）．

观察下列一组数： $-\frac{2}{3}$， $\frac{6}{9}$， $-\frac{12}{27}$， $\frac{20}{81}$， $-\frac{30}{243}$， $\dots$，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 $n$个数是　 　．

观察下列各式的规律：

① $1\times 3-2^2=3-4=-1$；② $2\times 4-3^2=8-9=-1$；③ $3\times 5-4^2=15-16=-1$．

请按以上规律写出第4个算式　　．

用含有字母的式子表示第 $n$个算式为　　．

下面是按一定规律排列的代数式： $a^2$， $3a^4$， $5a^6$， $7a^8$， $\dots$则第8个代数式是　　．

已知： $2+\frac{2}{3}=2^2\times \frac{2}{3}$， $3+\frac{3}{8}=3^2\times \frac{3}{8}$， $4+\frac{4}{15}=4^2\times \frac{4}{15}$， $5+\frac{5}{24}=5^2\times \frac{5}{24}$， $\dots$，若 $10+\frac{b}{a}={10}^2\times \frac{b}{a}$符合前面式子的规律，则 $a+b=$　　．