2010年高考试题分项版理科数学之专题四 三角函数

定义在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$上的函数 $y=6\cos x$的图像与 $y=5\tan x$的图像的交点为 $P$，过点 $P$作 $P{P}_1\perp x$轴于点 $P_1$,直线 $P{P}_1$与 $y=\sin x$的图像交于点 $P_2$,则线段 $P_1{P}_2$的长为.

在锐角三角形 $ABC$， $A$、 $B$、 $C$的对边分别为 $a$、 $b$、 $c$， $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=6\cos C$，则 $\frac{\tan C}{\tan A}+\frac{\tan C}{\tan B}=$

某兴趣小组测量电视塔 $AE$ 的高度 $H$ (单位 $m$ ），如示意图，垂直放置的标杆 $BC$ 高度 $h=4m$ ，仰角 $\angle ABE=\alpha ,\angle ADE=\beta$ .

（1）该小组已经测得一组 $\alpha ,\beta$ 的值， $\tan \alpha =1.24,\tan \beta =1.20$ ,请据此算出H的值
（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 $d$ （单位 $m$ ），使 $\alpha$ 与 $\beta$ 之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125 $m$ ，问 $d$ 为多少时， $\alpha -\beta$ 最大.

动点 $A(x,y)$在圆 $x^2+y^2=1$上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间 $t=0$时，点 $A$的坐标是 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，则当 $0\le t\le 12$时，动点 $A$的纵坐标 $y$关于 $t$（单位：秒）的函数的单调递增区间是（）

设 $△ABC$是锐角三角形， $a,b,c$分别是内角 $A,B,C$所对边长，并且 ${\sin }^{2}A=\sin (\frac{\pi }{3}+B)\sin (\frac{\pi }{3}-B)+{\sin }^{2}B$，

(Ⅰ)求角 $A$的值；

(Ⅱ)若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AB·}\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=12$, $a=2\sqrt{7}$，求 $b,c$(其中 $b<c$)．

对于函数 $f\left(x\right)=2\sin x\cos x$，下列选项中正确的是（）

如图， $A,B$ 是海面上位于东西方向相距 $5\left(3+\sqrt{3}\right)$ 海里的两个观测点，现位于 $A$ 点北偏东 ${45}^{°}$ ，B点北偏西 ${60}^{°}$ 的 $D$ 点有一艘轮船发出求救信号，位于 $B$ 点南偏西 ${60}^{°}$ 且与 $B$ 点相距 $20\sqrt{3}$ 海里的 $C$ 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达 $D$ 点需要多长时间？

在 $∆ABC$中，角 $A$， $B$， $C$所对的边长分别为 $a,b,c$，若 $\angle C=120°$， $c=\sqrt{2}a$,则（）

在 $∆ABC$中，角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$若 $a=\sqrt{2},b=2,\sin B+\cos B=\sqrt{2}$，则角 $A$的大小为.

已知函数 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x\sin \phi +{\cos }^{2}x\cos \phi -\frac{1}{2}\sin (\frac{\pi }{2}+\phi )(0<\phi <\pi )$，其图象过点 $(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2})$．
（Ⅰ）求 $\phi$的值；
（Ⅱ）将函数 $y=f\left(x\right)$的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数 $y=g\left(x\right)$的图象，求函数 $g\left(x\right)$在 $[0,\frac{\pi }{4}]$上的最大值和最小值．

已知 $a,b,c$分别是 $∆ABC$的三个内角 $A,B,C$所对的边,若 $a=1,b=\sqrt{3},A+C=2B$,则 $\sin C=$.

已知函数 $f\left(x\right)=A\sin (3x+\phi )(A>0,x\in (-\infty ,+\infty \left)\right),0<\phi <\pi$在 $x=\frac{\pi }{12}$时取得最大值4．　
(1)求 $f\left(x\right)$的最小正周期；
(2)求 $f\left(x\right)$的解析式；
(3)若 $f(\frac{2}{3}\alpha +\frac{\pi }{12})=\frac{12}{5}$,求 $\sin \alpha$．

计算 $\sin {43}^{°}\cos {13}^{°}-\cos {43}^{°}\sin {13}^{°}$ 的结果等于（  ）

已知函数 $f\left(x\right)=3\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})(\omega >0)$和 $g\left(x\right)=2\cos (2x+\phi )+1$的图像的对称轴完全相同。若 $x\in [0,\frac{\pi }{2}]$,则 $f\left(x\right)$的取值范围是。

某港口 $O$要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 $O$北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 $t$小时与轮船相遇。
（Ⅰ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（Ⅱ）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

在 $∆ABC$中，若 $b=1,c=\sqrt{3},\angle C=\frac{2\pi }{3}$，则 $a=$.

已知函数 $f\left(x\right)=2\cos 2x+{\sin }^{2}x-4\cos x$.
（Ⅰ）求 $f=\left(\frac{\pi }{3}\right)$的值；
（Ⅱ）求 $f\left(x\right)$的最大值和最小值。

如图,质点$P$在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为$P_0\left(\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)$,角速度为1,那么点P到$x$轴距离$d$关于时间$t$的函数图像大致为（）

若$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\alpha$是第三象限的角，则$\frac{1+\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}{1-\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}=$（）

在$∆ABC$中，$D$为边$BC$上一点，$BD=\frac{1}{2}DC,\angle ADB={120}^{°},AD=2$，若$∆ADC$的面积为$3-\sqrt{3}$，则$\angle BAC$=.

在$∆ABC$中，内角$A,B,C$的对边分别是$a,b,c$,若$a^2-b^2=\sqrt{3}bc$，$\sin C=2\sqrt{3}\sin B$，则$A$=（）

已知函数$f\left(x\right)=2\sqrt{3}\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x-1\left(x\in R\right)$

（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的最小正周期及在区间$\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若$f\left(x_2\right)=\frac{6}{5},x_0\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right]$，求$\cos 2x_0$的值。

设 $\omega >0$,函数 $y=\sin (\omega x+\frac{\pi }{3})+2$的图像向右平移 $\frac{4\pi }{3}$个单位后与原图像重合，则 $\omega$的最小值是

在$△ABC$中，$a,b,c$分别为内角$A,B,C$的对边，且$2a\sin A=(2a+c)\sin B+(2c+b)\sin C$
（Ⅰ）求$A$的大小；
（Ⅱ）求$\sin B+\sin C$的最大值.

设$0<x<\frac{\pi }{2}$，则"$x{\sin }^{2}x<1$"是"$x\sin x<1$"的（）

函数$f\left(x\right)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-2\sqrt{2}{\sin }^{2}x$的最小正周期是.

在 $△ABC$中,角 $A,B,C$所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $\cos 2C=-\frac{1}{4}$.

(I)求 $\sin C$的值；
(Ⅱ)当 $a=2,2\sin A=\sin C$时，求 $b$及 $c$的长．

$E,F$ 是等腰直角 $∆ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点，则 $\tan \angle ECF=$ （  ）

已知函数$f\left(x\right)=\left(1+cotx\right){\sin }^{2}x+m\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$．
（1）当$m=0$时，求$f\left(x\right)$在区间$\left[\frac{\pi }{8}.\frac{3\pi }{4}\right]$上的取值范围；
（2）当$\tan \alpha =2$时，$f\left(\alpha \right)=\frac{3}{5}$，求$m$的值．

设函数$f\left(x\right)=\cos \left(x+\frac{2}{3}\pi \right)+2{\cos }^2\frac{x}{2},x\in R$.
(I)求$f\left(x\right)$的值域;
(II)记$∆ABC$的内角$A,B,C$的对边长分别为$a,b,c$，若$f\left(B\right)=1,b=1,c=\sqrt{3}$,求$a$的值.

已知函数 $y=\sin (\omega x+\phi )(\omega >0,\left|\phi \right|<\frac{\pi }{2})$ 的部分图象如图所示，则（  ）

为了得到函数$y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$的图像，只需把函数$y=\sin (2x+\frac{\pi }{6})$的图像（）

已知$a$是第二象限的角，$\tan (\pi +2a)=-\frac{4}{3}$，则$\tan a=$．

$△ABC$中，$D$为边$BC$上的一点，$BD=33$，$\sin B=\frac{5}{13}$，$\cos \angle ADC=\frac{3}{5}$，求$AD$．

在 $∆ABC$中, $a=15,b=10,A={60}^{°}$,则 $\cos B=$（）

已知函数$f\left(x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right),g\left(x\right)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求函数$f\left(x\right)$的最小正周期；
（Ⅱ）求函数$h\left(x\right)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$的最大值，并求使$h\left(x\right)$取得最大值的$x$的集合。

1、证明两角差的余弦公式；
2、由推导两角和的余弦公式.
3、已知△ABC的面积，且，求.

将函数$y=\sin x$的图像上所有的点向右平行移动$\frac{\mathrm{\pi }}{10}$个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）

记 $\cos (-80°)=k$，那么 $\tan 100°=$（）

已知 $\alpha$为第三象限的角， $\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}$，则 $\tan \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\alpha \right)$ $=$.

已知 $△ABC$的内角 $A$， $B$及其对边 $a$， $b$满足 $a+b=actA+bcotB$，求内角 $C$．