初中数学解答题

“此生无悔入华夏，来世再做中国人！”自疫情暴发以来，我国科研团队经过不懈努力，成功地研发出了多种“新冠”疫苗，并在全国范围内免费接种．截止2021年5月18日 $16:20$，全球接种“新冠”疫苗的比例为 $18.29\%$；中国累计接种4.2亿剂，占全国人口的 $29.32\%$．以下是某地甲、乙两家医院5月份某天各年龄段接种疫苗人数的频数分布表和接种总人数的扇形统计图：

	甲医院			乙医院
年龄段	频数	频率	频数		频率
$18-29$周岁	900	0.15	400		0.1
$30-39$周岁	$a$	0.25	1000		0.25
$40-49$周岁	2100	$b$	$c$		0.225
$50-59$周岁	1200	0.2	1200		0.3
60周岁以上	300	0.05	500		0.125

（1）根据上面图表信息，回答下列问题：

①填空： $a=$　　， $b=$　　， $c=$　　；

②在甲、乙两医院当天接种疫苗的所有人员中， $40-49$周岁年龄段人数在扇形统计图中所占圆心角为 　　；

（2）若 $A$、 $B$、 $C$三人都于当天随机到这两家医院接种疫苗，求这三人在同一家医院接种的概率．

为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元 $/$个，足球价格为150元 $/$个．

（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的 $\frac{2}{3}$．学校有哪几种购买方案？

（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按 $90\%$收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按 $80\%$收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 为 $\mathit{DC}$ 边的中点，连接 $\mathit{AE}$ ，若 $\mathit{AE}$ 的延长线和 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BC}=\mathit{CF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AC}$ 和 $\mathit{BE}$ 相交于点为 $G$ ，若 $\mathit{\Delta GEC}$ 的面积为2，求平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的面积．

先化简，再求值： $(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y})÷\frac{1}{x^2+\mathit{xy}}$．其中 $x=\sqrt{2}$， $y=1$．

解方程： $\frac{x-3}{2}+\frac{x-1}{3}=4$．

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示．

	甲	乙
进价（元/千克）	x	x+4
售价（元/千克）	20	25

已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．

（1）求x的值；

（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？

在中国共产党成立100周年之际，我市某中学开展党史学习教育活动．为了了解学生学习情况，在七年级随机抽取部分学生进行测试，并依据成绩（百分制）绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下列问题：

（1）本次抽取调查的学生共有 　　人，扇形统计图中表示 C等级的扇形圆心角度数为 　　．

（2） A等级中有2名男生，2名女生，从中随机抽取2人参加学校组织的知识问答竞赛，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．

如图，一次函数 $y_1＝\mathit{kx}+b（k\ne 0）$ 的图象与反比例函数 $y2=\frac{m}{x}\mathrm{（}m\ne 0\mathrm{）}$ 的图象交于 A（﹣1， n）， B（3，﹣2）两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）点 P在 x轴上，且满足△ ABP的面积等于4，请直接写出点 P的坐标．

如图，四边形 ABCD是菱形，点 E、 F分别在边 AB、 AD的延长线上，且 $\mathit{BE}＝\mathit{DF}$ ，连接 CE、 CF．求证： $\mathit{CE}＝\mathit{CF}$ ．

先化简： $\frac{a^2-2a+1}{a^2-1}÷\mathrm{（}a-\frac{2a}{a+1}\mathrm{）}$，再从﹣1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点 $(C$不与点 $A$， $B$重合）连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$．将 $\mathit{\Delta ACD}$沿 $\mathit{AC}$翻折，点 $D$落在点 $E$处得 $\mathit{\Delta ACE}$， $\mathit{AE}$交 $\odot O$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=15°$， $\mathit{OA}=2$，求阴影部分面积．

渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元 $/$千克，根据市场调查发现，批发价定为48元 $/$千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．

（1）写出工厂每天的利润 $W$元与降价 $x$元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别是 $A(0,4)$， $B(0,2)$， $C(3,2)$．

（1）将 $\mathit{\Delta ABC}$以 $O$为旋转中心旋转 $180°$，画出旋转后对应的△ $A_1{B}_1{C}_1$；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$平移后得到△ $A_2{B}_2{C}_2$，若点 $A$的对应点 $A_2$的坐标为 $(2,2)$，求△ $A_1{C}_1{C}_2$的面积．